טבעה של מדידה

כשאנו אוספים מידע אמפירי, למשל כשאנו רוצים לתאר את צורת ההליכה של פיל, אנו קוראים לשיטת איסוף מידע זה - תצפית. אך כשאנחנו קובעים שהפיל שוקל חמישה טון, אנו מבצעים תצפית אמפירית מסוג מאוד מסוים שנקראת - מדידה.
אז מהי בעצם מדידה, ובמה היא שונה מתצפית שאיננה בגדר מדידה?

הדבר הראשון שחשוב להבין הוא שמדידה אינה מחייבת מכשירים. אנו מודדים דברים רבים באמצעות החושים.
למשל, אנו יכולים למדוד מרחק באמצעות מכשיר מדידה הנקרא סרגל, אך אנו יכולים למדוד את אותו המרחק באמצעות המבט שלנו, אנו יכולים למדוד את המרחק באמצעות ספירת צעדים, עטלפים מודדים מרחק באמצעות הזמן שלוקח להד לחזור, וכו'.
חוש השמיעה שלנו מודד עוצמות ותדירויות של קול, חוש הראיה מודד עוצמות ותדירויות של אור, חוש המישוש מודד עוצמות טמפרטורה, כח או לחץ, חוש הטעם יכול למדוד רמות חומציות וכן הלאה.

דבר נוסף שחשוב להבין הוא שמדידה אינה מחייבת שימוש במספרים. יש כל מיני אופנים לבצע מדידה.
למשל, כשאנו קובעים שרעש מסוים הוא חזק, בינוני או חלש אנו מבצעים מדידה. כשאנו מוצאים שאבן מסוימת שוקלת כמו, תפוח, אשכולית, או אבטיח אנו מבצעים מדידה.
גם אמצעי מדידה חיצוניים אינם מחייבים מספרים. נייר לקמוס למשל מודד חומציות באמצעות המרתה לסולם צבעים.
המדידה הבסיסית ביותר היא השוואה של שני גדלים והחלטה אם הם שווים או שאחד גדול מהשני. למשל כשאנו קובעים איזה מכסה מתאים לאיזה סיר, אנו בעצם מודדים את היחס בין היקף המכסה להיקף הסיר.
ככל שאנו רוצים לדייק את התיאור של היחס הנמדד, עלינו להשתמש בגדלים נוספים מלבד גדול, קטן או שווה. למשל, ראינו קודם שאנו יכולים לקבוע את משקלה של אבן על ידי שימוש במספר משקלים אחר להשוואה: תפוח, אשכולית ואבטיח.
אך ככל שנרצה לדייק במדידה מסוג זה יהיה עלינו להשתמש בהרבה מאוד עצמים שיהיו מידות לייחוס.
אי לכך דרך עדיפה היא להשתמש במידת ייחוס אחת, הנקראת גם יחידה, ולספור כמה פעמים מידה זו נכנסת בתופעה הנמדדת. למשל, אנו יכולים לבחור את אורך כף הרגל שלנו בתור יחידת המדידה לאורך, ולספור כמה פעמים היא נכנסת בתוך האורך הנמדד.
הבעיה עם יחידת מידה כמו כף רגל היא שהיא משתנה מאדם לאדם. לכן צריך לבחור נקודת התייחסות אחת, כמו למשל כף הרגל של המלך. יחידת האורך הנפוצה בעולם כיום היא המטר.

יחסיותו של מידע מדיד

כעת ביכולתנו להבחין בעקרון הבא:

מידע המתקבל במדידה הוא תמיד מידע יחסי

למשל, נניח וגילינו שביערות הגשם חי צב מיוחד בעל צורה וצבעים ייחודיים.
מידע חדש זה איננו מידע יחסי. סוג החיה, צבעה וצורתה זהו מידע העומד כביכול בפני עצמו. הוא אינו זקוק להשוואה. צב איננו נמדד ביחס לפיל, אריה או ציפור. גם איננו זקוקים כלל להכיר את כל אלו כדי להשיג את המידע על הצב.
לעומת זאת אם נרצה לקבל מידע על גודלו של הצב, מהירותו, משקלו וכן הלאה, יהיה למידע זה משמעות רק ביחס למשהו אחר.
למשל משקלו של הצב יהיה כמשקל מאה אגוזים, או כמשקל עשרה אגסים.
אנו עשויים לחשוב שכשאנו אומרים שהצב שוקל שניים ורבע קילוגרים אז יש קיבלנו מידע מוחלט, אבל גם מידע זה הוא מידע יחסי, כיוון שהוא נמדד ביחס ליחידה כלשהי - הלא היא הגרם. אם לא היינו מגדירים מידה להשוואה, אם לא היינו מגדירים את הגרם, לא הייתה לנו דרך לקבוע מהו משקלו של הצב.

ספירה מזכירה מאוד מדידה, כיוון שגם הספירה וגם המדידה נותנים לנו מידע כמותי. המדידה יכולה לכלול ספירה, כמו למשל ספירת מספר הפעמים בה נכנס אורכה של כף הרגל באורך מסוים, אך ההיפך אינו נכון. ספירה אינה עושה שימוש במדידה.
המידע המתקבל מספירה איננו מידע יחסי, אלא מידע מוחלט.
קיומם של עשרה כדורים אינו גודל שנקבע ביחס ליחידה כלשהי. לכאורה אנו עשויים לחשוב שהכדור היחיד הוא היחידה ועשרה כדורים נקבעים ביחס למידת הפעמים שנכנסים בהם כדור יחיד, אך קל מאוד לראות שזה לא כך, כיוון שניתן לספור עצמים שאינם מאותו הסוג. תפוח, אבן ומזלג הם שלושה תמיד. אף אחד מהם לא מייצג יחידה לייחוס, ולא ניתן לבנות יחידה אחרת ביחס אליה הם לא יהיו שלושה.
הספירה נוצרת מתוך היכולת של התפישה שלנו להגדיר חלקים מהמציאות כנפרדים. לזהות חלק אחד של המציאות כעצם (נניח מזלג), הנפרד מחלק אחר של המציאות (נניח אבן). אי לכך המידע המתקבל בספירה הוא תמיד בדיד.

מדידה לעומת זאת נותנת לנו מידע אודות כמות שאיננו יכולים לספור. שאיננו יודעים לזהות את הרכיב היסודי שלה (אם קיים כזה). האם אנו יכולים לספור כמה חום יש? כמה אורך יש? לא. עלינו להמציא מידה שרירותית, שביחס אליה נוכל לכמת תופעות שונות, בין אם על ידי ספירה של כמות הפעמים שהמידה הזו מופיעה בתופעה (למשל ספירת כמות הסנטימטרים באורך מסוים), או ללא ספירה (למשל כשמודדים זרם חשמלי).
המידע המתקבל ממדידה יהיה רציף או בדיד.

מה לגבי מדידת קצב לב? האם זו אינה ספירה?
ובכן במבט ראשון זה עשוי להראות כך, כי כשמדובר במדידת תדירות ישנם גבולות ברורים לתחילתו של מחזור ולסיומו. נראה כאילו תדר הוא גודל בדיד.
ואכן, אם היו מבקשים מאיתנו רק לספור מחזורים (פעימות לב), זו היתה ספירה.
אך מדידת קצב לב זו אינה רק ספירה של פעימות, אלא ספירת פעימות למשך זמן מסוים. זמן אינו בדיד. יחידות הזמן כמו שניה, דקה ושעה הן יחידות שרירותיות שאנחנו קבענו.
מעבר לכך קל לראות שתדירות, בשונה ממספר המחזורים שנספרו, אינה תמיד גודל בדיד. פעימת לב אחת בשתי דקות תיתן לנו תדירות של חצי פעימה לדקה. לכן אי אפשר לספור קצב או תדירות - יש למדוד אותם.

חשוב להימנע מבלבול. כשאני אומר שמדידה תמיד נותנת לנו מידע יחסי, יש להבין על איזו סוג יחסיות מדובר. לא מדובר על יחסיות הקשורה לתנאים בהם מתבצעת המדידה. למשל לאותו חפץ יהיה משקל שונה בכדור הארץ או על הירח, ואכן בהיבט זה משקל הוא גודל היחסי לתנאי המדידה, אך מטען חשמלי הוא גודל שאינו תלוי בתנאי המדידה, והוא עדיין גודל יחסי שנקבע בתהליך של השוואה ליחידת בסיס (הנקראת קולון).
ברמה העקרונית היום אנו יודעים מהם אבני הבניין של המטען החשמלי. אנו יודעים שאבן הבניין של כל מטען חשמלי היא מטען השווה בגודלו לזה של אלקטרון או פרוטון. כך שבעיקרון היינו יכולים לספור את המטען החשמלי ולקבל מידע שאיננו יחסי.
אך היות ואין לנו דרך מעשית כיום לעשות זאת אין לנו ברירה אלא לקבוע יחידת מדידה ולקבל מידע יחסי.

מדידה אינה תקפה רק לעולם הפיזי. גם התנסויות מופיעות בדרגות שונות. ישן עוצמות של כאב, עוצמות של רעש, עוצמות של תחושת חום וכדומה. אמנם כשמדובר בהתנסויות אין לנו, נכון לעכשיו, יחידות מידה או מכשור חיצוני היכולים למדוד אותם, אך אנחנו עצמנו מהווים מכשור שכזה.
למשל, ברמה הכי פשוטה, אדם יכול בקלות להבדיל בין כאב חזק יותר לחלש יותר. הוא גם יכול לנסות לכמת את הכאב, למשל על ידי שיוך הכאב לסולם דרגות מאחת עד עשר.
מדידה זו לא תהיה בהכרח עקבית או מדויקת, אך מבחינה מהותית זו תהיה מדידה לכל דבר.

ההבדל בין תכונות כמותיות ואיכותיות

נשאלת השאלה: מהו ההבדל המהותי בין תכונות שהן מדידות, לתכונות שאינן מדידות?
מדוע המידע על השוני בין עוצמתו של רעש אחד לאחר הוא מדיד, אך המידע אודות השוני בין צליל התוף והכינור אינו מדיד? מדוע מהירותו של הצב יכולה להימדד ביחס לאריה, אך הצב לכשעצמו אינו יכול להימדד ביחס לאריה? מדוע כאב מסוים יכול להימדד ביחס לכאב אחר, אך רגש של קינאה אינו יכול להימדד ביחס לרגש של שעמום?
במילים אחרות מדוע מידע מסוים הינו כמותי, בעוד מידע אחר הוא איכותי? מהו ההבדל המהותי בין שני סוגי מידע אלו?

ראשית נשאל את עצמנו מה זה בעצם אומר עוצמה של תכונה? מה זה אומר מטען חשמלי בעוצמה גבוהה יותר? מה זה אומר כאב חזק יותר?
ובכן ברמה הפשוטה זה אומר שיש לנו כמות גדולה יותר מאותה תופעה יסודית.
מטען חשמלי גבוה יותר זה אומר שיש לנו כמות עודפת גדולה יותר של אלקטרונים (או פרוטונים) באזור הנמדד. אינני יודע מהי יחידת הכאב המינימלית, או אם בכלל יש כזה דבר, אך כעיקרון ניתן לחשוב על כאב חזק יותר כעל כאב המכיל יותר יחידות כאב יסודיות.

כעת בואו ניקח לצורך הדוגמא את תופעת הצבע. שימו לב, אינני מדבר על גלים אלקטרומגנטיים בתדרים של האור הנראה, אלא על הצבע כהתנסות בתודעה.
הצבע הירוק נדמה לנו כבעל איכות אחרת לחלוטין מהצבע האדם. בעוד הצבע הורוד נדמה שיש לו במידת מה את איכותו של האדום. אנו יודעים שכל צבע שאנו רואים ניתן ליצור על ידי ערבוב של אור אדום, ירוק וכחול בפרופורציות שונות.
כשאנו רואים תמונה בגוון צבע יחיד, למשל כחול, קל לנו למדוד כל חלק בתמונה ביחס לחלקים האחרים שלו. קל לנו לומר שהכחול באזור מסוים בתמונה כהה יותר מהכחול באזור אחר בתמונה. עוצמת הצבע הכחול של כל חלק בתמונה היא ברת מדידה.
כך גם לגבי תמונה אדומה או ירוקה.
לעומת זאת צבעים כמו צהוב, ורוד וכדומה אינם צבעים יסודיים. הם אינם מורכבים מתכונה איכותית יסודית בעלת עוצמות שונות, אלא משילוב של שתיים או שלוש תכונות איכותיות יסודיות. לכן אי אפשר למדוד אותם בסולם חד ממדי.
הצבע הוורוד נוצר מעוצמה גבוהה של אור אדום ועוצמה נמוכה של אור כחול וירוק. לכן אנו מרגישים בו את האיכות של האדום. הצבע הצהוב לעומת זאת נוצר משילוב של אור ירוק ואדום באותה העוצמה. יתכן וזו הסיבה שאיננו מצליחים לזהות בו אף אחד מהשניים.

אותו הדבר ניתן לראות לגבי תופעת הצליל. צליל טהור (יסודי) הוא צליל שמופק בתגובה לגלי קול בעלי תדירות יחידה. הצליל של קולן, למשל, הוא קירוב טוב לצליל טהור. קל לנו להשוות בין שני צלילים טהורים. הם נשמעים מבחינתנו אותו הדבר, למעט העוצמה או הגובה של הצליל. למשל הצליל "לה", שכיום נהוג להגדירו כתדר של 440 הרץ ישמע לנו גבוה יותר מהצליל "סול" המוגדר כ-392 הרץ. אך הצליל לה של חליל לא ישמע כמו הצליל לה של כינור, כיוון שהם לא צלילים יסודיים. הם מכילים בעיקר את התדר של 440 הרץ, אך כוללים גם תדרים נוספים בעוצמות נמוכות יותר. כל אחד מכלי הנגינה מפיק תערובת שונה של תדרים משניים שכאלו, ולכן הם נשמעים לנו כבעלי איכות שונה.

משתי דוגמאות אלו, אנו יכולים לראות שהתנסויות הנחשבות לאיכותיות ובלתי מדידות הן בעצם שילוב של התנסויות יסודיות שהן כן ברות מדידה.

ניתן לראות שהעקרון הזה תקף לא רק להתנסויות, אלא גם לעולם הפיזי. בואו נחשוב למשל על עופרת ועל חמצן. אלו שני חומרים בעלי איכות שונה מאוד שעל פניו לא ניתן למדוד את האחד ביחס לשני. אך ברגע שאנו מבינים את היחידות היסודיות יותר מהן עשוים החומרים הללו, למשל שכל אטום עשוי מפרוטונים, ניוטרונים ואלקטרונים, ניתן למשל למדוד את היחסים הכמותיים של כל אחד מרכיבים יסודיים אלו בשני החומרים.

אז יתכן שהמציאות, הן הפיזית והן התודעתית, מורכבת ביסודה מרכיבים יסודיים מסויימים בעלי איכות שונה שיכולים להתקיים בכמות זו או אחרת. רכיבים אלו ניתנים למדידה ולהשוואה אחד ביחס לשני. השילוב שלהם יוצר תופעות מורכבות שאינן ניתנות להשוואה ולמדידה בצורה פשוטה ביחס לתופעות אחרות, ולכן אנו תופשים אותן כבעלות איכות שונה.