הנחה שנויה במחלוקת בלוגיקה של האינסוף

 

במהלך ההיסטוריה רעיון האינסוף עורר מחלוקות רבות בקרב פילוסופים ואף מתמטיקאים.
אני ואחרים בהם נתקלתי חושבים שיש כשל כלשהו בלוגיקה בה אנו משתמשים ביחס לאינסוף.
לכאורה היינו עשויים לחשוב שאם קיים כשל לוגי כלשהו בחשיבה שלנו, היינו יכולים לגלות אותו במהרה ולהסכים עליו, אך נראה שאין זה כך. לדעתי הסיבה לכך היא שכולנו חיים בעולם שתכונותיו מתבטאות על ידי כמויות סופיות. בהתאם לכך התפתחה אצלנו צורת חשיבה דומה לגבי כמויות סופיות. כמו כן, בסופו של דבר, קיימת לנו אפשרות לאמת את ההשערות שלנו אל מול המציאות.
אינסוף לעומת זאת אינו מאפיין תכונות של העולם שלנו. לפחות לא אלו הנתפסות על ידי החושים. כיוון שאין לנו ניסיון עם אינסוף, קיימת אי הסכמה לגבי הנחות הבסיס הנוגעות אליו, וכן אין לנו את היכולת לאמת אותו מול המציאות ולהכריע מחלוקות.

אחד הקשיים העיקריים בהם נתקלים אני ואחרים כמוני החושבים שקיים כשל לוגי מסוים באופן בו אנו חושבים על האינסוף, הוא הקושי להעביר את נקודות המחלוקת בצורה מדויקת וברורה, ובמונחים מקובלים ומוגדרים היטב מספיק, כדי שכל מי שיקרא את הטיעונים יוכל להבין אותם במדויק, וכך לאשר או לפסול אותם באמצעות טיעוני נגד רלוונטיים.
במאמר זה ברצוני לנסות ולהציג טיעונים לקיומו של כשל לוגי שכזה באופן הברור ביותר, על מנת שהדיון סביבו יהיה ענייני ופורה.

לשם כך בואו נעבור מיד לדוגמה הפשוטה הבאה:

ניקח את השוויון הבא המקובל כיום על ידי רובם המכריע של המתמטיקאים:

 1/3 = ...0.333

הסמל ...0.333 מייצג מספר המורכב מאינסוף פעמים הספרה 3 לאחר הנקודה העשרונית.
הטענה כאן היא שערכו של מספר זה הוא בדיוק 1/3.
בהעדר שם מוצלח יותר, אכנה כאן מספר בעל אינסוף ספרות בשם מספר אינסופי (למרות שהערך שאנו מייחסים לו אינו אינסופי). כמו כן אכנה מספר סופי, מספר שמיוצג על ידי מספר ספרות סופי.

להלן מספר שאלות פשוטות :

1.      האם השוויון המוצג מעלה הוא הכרח, כלומר האם הוא מסקנה לוגית הנובעת מהנחות הבסיס של אריתמטיקה של מספרים סופיים, או שזוהי תוצאה של אקסיומה/הנחה חדשה וחופשית שאינה נובעת מהנחות אלו?

 

2.      אם שיוון זה הוא תוצר של אקסיומה חדשה, האם אקסיומה זו מביאה אותנו לסתירות כלשהן עם הנחות הבסיס של האריתמטיקה של המספרים הסופיים, או שלא?

 

3.      האם המספר ...0.333 נוצר מפיתוח הטור ... 0.003 + 0.03 + 0.3 - עד אינסוף?

בואו נתחיל משאלה מספר 3.

ראשית נכנה את הטור ... 0.003 + 0.03 + 0.3 באות T,
ואת הסדרה ממנה הוא מורכב - (... ,0.003 ,0.03, 0.3) – באות S.

כדי להבהיר טוב יותר מה הכוונה בשאלה 3, בואו נגדיר שני מושגים נוספים:

1. אינסוף פוטנציאלי:

אינסוף פוטנציאלי הוא תהליך שאין לו סוף. אך בכל נקודה בזמן, התוצר שלו מורכב מכמות סופית של שלבים/צעדים.
אם ניקח את איברי הסדרה S ונחבר אותם אחד אחרי השני, נקבל בכל רגע בזמן סכום חלקי סופי של איברי הסדרה. את חיבור איברי הסידרה נוכל להמשיך ולבצע ללא סוף.

2. אינסוף ממשי:

האינסוף הממשי הוא הרעיון שקיים עצם שבנקודה מסוימת בזמן, מכיל אינסוף חלקים/איברים.
למשל קבוצת כל המספרים הטבעיים היא דוגמה לאינסוף ממשי. גם הסדרה S היא דוגמה לאינסוף ממשי.

נחזור לשאלה 3: האם המספר ...0.333 נוצר מפיתוח הטור T עד אינסוף?

לדעתי רוב האנשים יגידו שכן. שהמספר ...0.333 נוצר על ידי סכימת כל האיברים בסדרה S. כמו כן, הם יטענו שסכום זה שווה בדיוק ל: 1/3.
(אגב, יש כל מיני סדרות באמצעותן ניתן לבנות את המספר הזה, אך זוהי הסדרה הפשוטה ביותר)

כעת, הטור T הוא דוגמה של אינסוף פוטנציאלי. אנו יודעים לסכום סכומים חלקיים הולכים וגדלים ללא סוף של טור זה. אך המספר ...0.333 מייצג אינסוף ממשי.
כדי לעבור מהאינסוף הפוטנציאלי לאינסוף הממשי עלינו באופן כלשהו להזין לתוך הטור את כל אינסוף איברי הסידרה S.
נשאלת השאלה, האם ניתן לעבור מהאינסוף הפוטנציאלי לאינסוף הממשי, והאם אנו יכולים להציג זאת בצורה מתמטית פורמלית פחות או יותר?

לדעתי התשובה היא חיובית.

בואו ניצור קבוצה המכילה את כל הסכומים החלקיים של הטור.
{0.3, 0.33, 0.333 .... }
נכנה אותה קבוצה G.

אם נשאל עצמנו מהי הקרדינליות של הקבוצה? התשובה היא אינסוף (א₀).
במילים אחרות, לקבוצה יש אינסוף איברים.

אני טוען שקבוצה G היא בדיוק המשמעות של לסכום את הטור T עם אינסוף איברים, כיוון שכל אחד מאיברי הסדרה S נלקח בחשבון באחד מסכומי הטור T המופיעים בקבוצה G.

כלומר הצלחנו "להציב" אינסוף ממשי, בתוך תהליך של אינסוף פוטנציאלי.

עם זאת, לאחר שלקחנו בחשבון את כל איברי הסדרה S, במסגרת סכימת הטור T, עדיין איננו מוצאים בקבוצה G איבר שערכו 1/3.

וזה לא מפתיע. בואו נסתכל על דרך גיאומטרית להציג את הטור T, באמצעות אינסוף ממשי.
נדמיין לנו את כל הסכומים החלקיים של איברי הסדרה S, מסומנים לאורך עקומה אינסופית רציפה שגבולה 1/3.

(לחצו על התמונה להגדלה)

 
כמו העקומה הרציפה, כך גם סדרת הנקודות הדיסקרטית היא מבנה שמתחיל מ-0 וממשיך עד האינסוף. לכן הוא דוגמה לאינסוף ממשי.
קל לראות שהערך 1/3 לעולם אינו נמצא על סדרת הנקודות, גם אם ניקח בחשבון את כל אינסוף איברי סדרה S.

אי לכך, נראה שכן ניתן להסתכל על המספר ..0.333 כסכום של אינסוף איברי הסדרה S, אך סכום זה אינו מגיע לעולם ל-1/3.

ייתכן ותשאלו, אם כן מהו הערך של סכום אינסוף איברי הסידרה S?
כדי לענות על שאלה זו אצטרך לרדת לרמות הסבר עמוקות יותר, ולהסביר מדוע למעשה אין משמעות לסכום של אינסוף איברים - לפחות לא כמספר בעל ערך סופי ומוגדר. אך זה אינו נחוץ לצורך דיון זה, כיוון שלצורך הדיון, כל מה שרציתי הוא להראות, שגם אם אנו מניחים שקיים איזשהו ערך לסכום אינסוף איברי סידרה S, הוא לא יכול להיות 1/3. למי שמעוניין אני מרחיב על כך בחלק ההעמקה בסוף המאמר.

------------------------------------------------------------------------------

כעת אנו יכולים לענות על שאלה מספר 1:

האם השוויון בין 1/3 ל- ..0.333 הוא מסקנה לוגית הכרחית הנובעת מהנחות הבסיס של אריתמטיקה של מספרים סופיים, או שזוהי תוצאה של אקסיומה/הנחה חדשה וחופשית שאינה נובעת מהנחות אלו?

מצאנו שהשוויון הנ"ל איננו מסקנה לוגית. אי לכך, עלינו להסיק ששוויון זה מבוסס על אקסיומה חדשה שאנחנו הגדרנו באופן חופשי.

מהי אקסיומה זו?

ניתן לנסח אותה בצורה הפשוטה הבאה: הסכום של סדרה אינסופית הוא הגבול של הסכומים החלקיים שלה.

------------------------------------------------------------------------------

כעת נעבור לשאלה  מספר 2:

אם שיוון זה הוא תוצר של אקסיומה חדשה, האם אקסיומה זו מביאה אותנו לסתירות כלשהן עם הנחות הבסיס של האריתמטיקה של המספרים הסופיים, או שלא?

לדעתי התשובה היא כן.
כדי להמחיש זאת בואו נשתמש בדוגמה הפשוטה הבאה:

צפרדע יושבת על צד אחד של שלולית ורוצה להגיע לצד השני. בכל קפיצה שעושה הצפרדע היא עוברת מחצית מהמרחק שנותר לה.
למשל, אם נגדיר את אורך השלולית באמצעות המספר 1, אז לאחר הקפיצה הראשונה הצפרדע תעבור ½ מהשלולית, לאחר הקפיצה השנייה הצפרדע תעבור עוד ¼ מהשלולית, לאחר השלישית עוד 1/8 מהשלולית וכך הלאה...

ההנחה ממנה יצאנו בדוגמה זו היא שעם כל קפיצה של הצפרדע, נשאר לה עוד מחצית מהמרחק שהיה לה לעבור לפני הקפיצה.
הנחה נוספת או ליתר דיוק, הגדרה בה אנו משתמשים היא שכדי לעבור את כל המרחק, לא יכול להישאר מרחק שלא עברנו.
מכאן אנו יכולים להסיק שהצפרדע לעולם לא תגיע לצד השני.

כעת נשתמש באקסיומה החדשה. נניח שסכום המרחקים של אינסוף קפיצות של הצפרדע שווה לגבול הסכומים החלקיים של הקפיצות. גבול זה שווה ל-1. מכאן נסיק שאם הצפרדע תקפוץ אינסוף קפיצות היא כן תגיע לצד השני.

כלומר הגענו לסתירה עם ההנחות בהן השתמשנו קודם.

חשוב לי לציין, שעבור מקרים רבים הסתירות הן כל כך עדינות שניתן בנקל להתעלם מהן, בגלל שההפרש בין סכום של אינסוף איברי הסדרה לגבול שלה הוא אינפיניטסימלי. כלומר, הוא תמיד קיים וגדול מאפס, אך הוא יהיה קטן מכל מספר אחר. למשל לצורך חישובים או תיאור כמותי של המציאות הפיזית, אין שום בעיה.
הסתירות מתגלות בדוגמאות יותר מופשטות, כמו למשל בפרדוקס אכילס והצב של זנון.



------------------------------------------------------------------------------

העמקה - הנחה נוספת שנויה במחלקות. 

ייתכן שתאמרו: "אבל יש הוכחה מתמטית ש - ...0.333 = 1/3"

בואו נראה את עיקרי ההוכחה הזו.

לפני כן, ובהעדר מושג טוב יותר, אגדיר את המושג ערך סופי.
ערך סופי הוא בפשטות ערך. 1 הוא ערך, 212 הוא ערך, 0.00345 הוא ערך וכדומה.
המילה סופי משמשת במסגרת ההקשר של סכומי טורים אינסופיים לצורך הבהרה, כיוון ששאלה כגון "האם לסכום של טור אינסופי יש ערך" עשויה להראות לנו מוזרה. אחרי הכל לסכומים החלקיים של הטור יש ערך, וגם לגבול שלהם יש ערך. אך כיוון שאנו נוטים לראות בסכומים החלקיים של הטור ערך משתנה, ההולך ומתקרב לסכום האינסופי של הטור, ניתן להשתמש בביטוי ערך סופי כדי להדגיש שערך זה אינו משתנה.

1. הנחה: למספר ...0.333, כלומר לסכום של אינסוף איברי קבוצה S יש ערך סופי. נכנה אותו X.

2. משפט: גבול הסכומים החלקיים של S (או החסם מלמעלה הנמוך ביותר של קבוצת הסכומים החלקיים של S) שווה ל-1/3.

3. הנחה: אם X שונה מ-1/3 אז חייב להיות ביניהם הפרש בעל ערך סופי. נכנה הפרש זה a.

4. משפט: כיוון שאנו יכולים לחשב עוד ועוד סכומים חלקיים של T כרצוננו, עבור כל a שנבחר, נוכל למצוא סכום חלקי של T כך שההפרש בין 1/3 לבינו קטן מ-a

5. מסקנה: ההפרש a אינו קיים ושווה ל-0. לכן הסכום האינסופי של T שווה לגבול הסכומים החלקיים שלו.

הבעיה עם ההוכחה הזו היא ההנחה הראשונה. היא מניחה שלסכום של סדרה אינסופית של ערכים יש ערך סופי.
אך כפי שציינתי קודם, סכום של סדרה אינסופית הוא מבנה מסוג אינסוף ממשי – מבנה המכיל אינסוף איברים או חלקים ברגע יחיד בזמן. וכפי שראינו, כאשר ייצגנו את הטור T באמצעות מבנים של אינסוף ממשי, כגון קבוצת כל הסכומים החלקיים של T, או כעקומה המתקיימת מנקודה 0 עד אינסוף, ראינו שגם אז, לאורך כל האינסוף, איך לטור ערך סופי. הוא מתקרב לערך מסוים, אך לעולם אינו מגיע לערך מסוים.

למעשה, כפי שרמזתי קודם, המסקנה העמוקה יותר, היא שלסכום של סדרה אינסופית של ערכים, אין ערך סופי ומוגדר.

הגדרנו קודם שהאקסיומה החדשה שבה אנו משתמשים לצורך קביעת השוויון בין ...0.333 ל- 1/3 היא שהסכום של סדרה אינסופית הוא הגבול של הסכומים החלקיים שלה.

כעת אנו יכולים לראות שאקסיומה זו נשענת על הנחה נוספת, גם היא תוצר חופשי של המחשבה שלנו, והיא: לסכום של סדרה אינסופית של ערכים יכול להיות ערך סופי.

אך כפי שהראיתי, גם הנחה זו, אינה מסקנה הכרחית הנובעת מתוך הנחות הבסיס של אריתמטיקה של מספרים סופיים, ומביאה לסתירות, כמו בדוגמת הצפרדע והשלולית.