הודעת פתיחה


ברוכים הבאים לבלוג שלי,

מטרתו של בלוג זה היא לשתף אתכם בתובנות שרכשתי במהלך החיים בתחומים שונים. תובנות בנושא החיים שיפורם ושיפורו של העולם.
רוב המאמרים כתובים במבנה של תהליך לוגי. כלומר תהליך בו כל שלב מוביל לשלב הבא, ובצורה זו הוא מוביל את הקורא להבין את אותה התובנה שגיליתי.
אציין מראש שרכישת התובנות המוכלות במאמרים דורשת קריאה סבלנית וחשיבה רבה.
חלק מהמאמרים יופיעו בספר שאני מתכוון לכתוב בעתיד, לכן אשמח לקבל מכם שאלות והערות בונות שיסייעו לי לשפר את המאמרים, להפוך אותם לקריאים ומובנים יותר וכמובן, אם לדעתכם טעיתי במשהו, אשמח לשמוע.

אני מאחל לכם קריאה מהנה, מעניינת ומרחיבת אופקים...

יום שבת, 20 באוגוסט 2022

מתמטיקה וסיבתיות בפיסיקה

 

1. התרחקות הפיסיקה והפילוסופיה

1.1. במהלך הזמן, ובמיוחד סביב ראשית המאה ה-20, נראה שנוצרה התרחקות בין הפילוסופיה לפיסיקה.
בראשית דרכן פילוסופיה ופיסיקה היו משולבות. פילוסופים רבים, כגון דקארט, לייבניץ' ועוד היו גם פיסיקאים וגם מתמטיקאים. גם ההיפך היה נכון. פיסיקאים רבים עסקו גם בפילוסופיה.
עם הזמן התפתחו המתמטיקה והפיסיקה, וכמו שקרה גם בתחומי ידע אחרים, היכולת להתמחות בתחום דרשה התמקצעות רבה שצמצמה את כמות היכולת של חוקרים להתמקצע בכמה מהתחומים בו זמנית.
בנוסף, נראה שסביב תחילת המאה העשרים חלה התרחקות נוספת בין הפילוסופיה לפיסיקה.
מההסברים ההיסטוריים שיצא לי לקרוא ניתן לראות את תחילת התהליך הזה בהתפתחותן של תורת היחסות ושל מכאניקת הקוונטים.
ראשית מדובר בשתי תורות המציגות תמונת מציאות שעובדת באופן שונה ממה שאנו מכירים באמצעות ההתנסוית היום יומית. הן תיארו תהליכים כגון האטה של הזמן, עיקום המרחב, חלקיק יחיד המתקיים בו זמנית בכמה מקומות שונים כל עוד לא "מסתכלים עליו" ועוד.

 לכן פילוסוף המנסה לחקור את העולם רק על בסיס הנסיון היום-יומי (מה שלפעמים מכונה בקרב פיסיקאים "אינטואיציה") אינו יכול להסביר באמצעותו את המסקנות של תיאוריות אלו.


1.2. אבל לא רק הפיסיקה התרחקה מהפילוסופים, אלא גם הפיסיקאים התרחקו מהפילוסופיה.
את ההתרחקות הראשונה ניתן היה לראות בהצלחות של איינשטיין.
אחד הדברים שאפיינו כמה מהתיאוריות שהוא פיתח היה שכדי לפתח אותן הוא הציע הנחות יסוד חדשניות, לחלקן הוא התייחס ממש כאקסיומות, שמהן הוא פיתח את התיאוריות שלו. תיאוריות אלו נבדקו לאחר מכן בניסויים ונמצאו תואמות את המציאות במידה גבוהה.
עד כאן הכל טוב ויפה למעט דבר אחר: הוא לא סיפק הסבר סיבתי להנחות היסוד שהוא הציע.

מה הכוונה בהסבר סיבתי?

1.3. הסבר סיבתי הוא הסבר המתאר את המנגנונים הפיסיים שקיימים ביקום, ומאפשרים את קיומה של תופעה מסוימת.
למשל כבר במאה ה-18 התפתחה פיסיקה המתארת תופעת החום והטמפרטורה ופותחו משוואות המסוגלות לנבא את התנהגות התופעות השונות הקשורות לחום. עם זאת עדיין לא היה הסבר לשאלה "מהו חום?" ומה המנגנון שמאפשר לעצם חומרי לרכוש טמפרטורה גבוהה או טמפרטורה נמוכה. רק מאוחר יותר נמצא ההסבר (הסיבתי) הזה, והסתבר שבעצם מה שגורם לחום הוא התנודות המחזוריות של מוליקולות החומר, ומה שקובע את מידת הטמפרטורה היא מהירות התנועה המחזורית הממוצעת של המוליקולות.
הטמפרטורה עצמה, אותה אנו יכולים למדוד באמצעות תחושה או מדחום, היא רק דרך בה אנו או המדחום "תופשים" את המציאות היסודית יותר של תנועת המוליקולות.


1.4. בין הנחות היסוד שהציע אינשטיין, מבלי לספק להן הסבר סיבתי, ניתן למצוא את טבעו הדואלי של האור כחלקיק וגל, חוסר השתנות מהירות האור בשל תנועה יחסית של הצופה, ועקרון השקילות בין תאוצה לכבידה.
שימו לב, אינני טוען שהוא הציע את הרעינות הללו ללא שום בסיס שיתמוך בהם. כל הרעיונות הללו נתמכו על ידי טיעונים לוגיים שהתבססו על ידע תיאורטי קודם ואף בהשראת תוצאות ניסויים קודמים.
אך הוא לא טרח לנסות ולהסביר מהו המנגנון הפיסי שמאפשר את קיומן של הנחות יסוד אלו.
לדוגמא, מההתנסות היום יומית אנו יודעים שמהירות היא דבר יחסי. אם שני זאבים רודפים אחרי איילה, אחד במהירות 70 קמ"ש והשני במהירות 60 קמ"ש, והאיילה מבחינה בהם ומאיצה ל-80 קמ"ש, הזאב הראשון יראה את האיילה מתרחקת ממנו במהירות יחסית של 10 קמ"ש והזאב השני יראה אותה מתרחקת ממנו במהירות יחסית של 20 קמ"ש.
אינשטיין טען שאם שני אנשים ירדפו אחרי קרן אור, אחד ברגל ואחד בטיסה במטוס מהיר, שניהם יגלו שהאור מתרחק מהם באותה המהירות.
איך זה יתכן?
על כך איינשטיין לא ענה. עם זאת, עד היום הניסויים שבוצעו הראו שזה אכן נכון.

אינשטיין מצא שהתנהגותו המוזרה של האור מחוייבת להיות מלווה בתופעות נוספות על מנת שתישמר עקביות לוגית ומתמטית בין ההנחה שלו לבין שאר התופעות שאנו מודדים. בין תופעות אלו למשל, עבור שני האנשים הרודפים אחרי קרן האור הזמן יעבור במהירות אחרת והמרחקים של היקום יהיו עבורם אחרים.

אך איינשטיין לא הסביר מי מהתופעות הללו היא הסיבה ומי התוצאה.

האם חוסר השתנות מהירות האור גורמת להאטת הזמן היחסית בין האנשים, או שדווקא קצב הזמן השונה גורם לכך שהם ימדדו את אותה מהירות אור?
למעשה עד היום לא מצאתי הסבר מספק לשאלה זו. התשובות בהן נתקלתי היו או תשובות של לוגיקה מעגלית, או תשובות המסבירות את המתמטיקה של תורת היחסות, וכפי שנראה בהמשך, המתמטיקה איננה הסבר סיבתי.

1.5. ההתרחקות השנייה של הפיסיקאים מהפילוסופיה התרחשה בעקבות פיתוחה של מכאניקת הקוונטים. מכאניקת הקוונטים מצאה שכל חלקיק בין אם זה אטום, אלקטרון פרוטון וכדומה מבטאים גם תכונות של גל ואפילו נמצאה נוסחא שנקראה "פונקציית הגל" המנבאת את התנהגותו של גל זה. עם זאת עד כה הפיסיקאים לא הצליחו להסכים לגבי מהי המשמעות הפיסית של הגל הזה. כלומר איזה מנגנון שקיים ביקום הוא מתאר?
הדבר הכי קרוב שיש לנו להסכמה על המשמעות הפיסית של הגל הזה שניתן לחשב באמצעותו את ההסתברות למצוא את החלקיק במקום זה או במקום אחר.
עם הזמן התפתחו בקרב הפיסיקאים מספר אסכולות שכל אחת פיתחה גישה אחרת לדילמה של המשמעות הפיסית של פונקציית הגל.
אחת מהאסכולות הדומיננטיות, שנקראה אסכולת קופנהגן, דגלה בגישה שלמעשה כלל לא משנה מה המשמעות הפיסית של פונקציית הגל, ושאין זה מעניינה של הפיסיקה להסביר מה קיים בעולם. תפקידה של הפיסיקה מסתכם בליצור מודלים שיצליחו לנבא את תוצאות התצפיות והניסויים שאנו עושים. אין זה משנה מה המנגנון האמיתי שמודלים אלו מתארים.
אחד הכינויים הפופולריים שניתנו לגישה זו הוא "Shut up and calculate". (אכנה אותה בקצרה Suac)

1.5.1. למעשה פיסיקאים אלו, לא רק שפסקו לנסות ולתת הסברים סיבתיים לתופעות הנצפות, אלא הם טענו שחיפוש הסברים סיבתיים הם כלל לא מעניינה של הפיסיקה. אגב, אחד המתנגדים העיקריים לגישה זו היה איינשטיין עצמו, שסבר שפיסיקה כן יכולה להביא אותנו להבנת המנגנונים האמיתיים של היקום.

1.6. למרות שיש הגיון מסוים, ואפילו עקרון פילוסופי עמוק, בגישת Suac, ואזכיר אותו בהמשך אני חושב שהגישה הזו והויתור על הנסיון להבין איך העולם בנוי, ומה המנגנונים האמיתיים המתוארים על ידי התיאוריות הפיסיקליות, מזיקה למחקר הפיסיקלי ותוקעת אותו במקום.

1.6.1. נתחיל בכך שהשאלה "איך בנוי העולם" היא שאלה מדעית לגיטימית. אנו מניחים שקיימת מציאות. אם לא הייתה קיימת מציאות לא היינו טורחים לפתח תיאוריות ומודלים שיתארו אותה.

כמו כן אנו מניחים שהמציאות היא אחת ושהתנהגותה מוכתבת על ידי מספר קטן יחסית של מנגנונים, הנקראים חוקי הטבע, שהשלובים בינהם מאפשרים את הופעתן של מגוון רב של תופעות.
גישה המוותרת על הנסיון למצוא הסבר סיבתי לתפעות בעצם פוגעת ביכולת שלה לאחד תיאוריות, כלומר למצוא הסברים יסודיים יותר שיסבירו את התיאוריות והמודלים השונים שפותחו.

1.6.2. לדוגמא, אחד המודלים המתמטיים המדויקים הראשונים היה המודל של יוהנס קפלר. קפלר טען, בין היתר, שכוכבי הלכת נעים סביב השמש באליפסה, בה השמש נמצאת באחד הקודקודים של האליפסה.
אם גישת Suac הייתה נהוגה בימיו של קפלר, יתכן והפיסיקאים היו נעצרים בנקודה זו. המודל של קפלר תיאר במדויק, ביחס לזמנו, את תנועתן של הפלנטות, והשאלה מה מאפשר להן לנוע סביב השמש, ומדוע דווקא בצורה של אליפסה, לא הייתה נחשבת חלק מעיסוקה של הפיסיקה.

במציאות הפיסיקאים של זמנו כן חיפשו הסברים סיבתיים לתצפיות או לתיאוריות שהם פיתחו, וכך הגיע ניוטון והמציא את מושג הכח אותו הוא שילב עם רעיון האינרציה (תנועה התמדית) שפיתח גלילאו, ומצא שניתן להסביר את תנועתן האליפטית של הפלנטות בשל כוח הכבידה הפועל בין השמש לבין הפלנטות.
אבל כיצד אנו יכולים לקבוע שהתיאוריה של ניוטון היא יותר יסודית מהתיאוריה של קפלר? הרי שתיהן הן בסך הכל דרכים שונות לנבא את אותה התצפית.
ובכן, התיאוריה של ניוטון לא רק שהסבירה את תנועת כוכבי הלכת, אלא גם את תנועתם של כל העצמים על פני כדור הארץ, כמו תפוח שנופל מהעץ לקרקע.
מכאן אנו יכולים להסיק שהתיאוריה של ניוטון הייתה תיאוריה יסודית יותר מזו של קפלר, והיא יכלה להסביר אותה, ודברים רבים נוספים, באופן סיבתי.
מכאן אנו מסיקים שתיאוריה זו הינה תיאור מדויק יותר של המציאות, כלומר של מה שקיים.

1.7. עד היום פיסיקאים מחפשים אחר תיאוריה מאוחדת של כל הפיסיקה, אך הויתור על הצורך למצוא הסברים סיבתיים לתיאוריות השונות שפותחו פוגעת ביכולת למצוא עקרונות יסודיים המאחדים בין תיאוריות אלו.
למעשה, מבחינה פילוסופית, כפי שהזכרתי במאמרי "מהי סיבתיות?", אנו מניחים שיש סוף לסיבתיות. כלומר שישנם ביקום רכיבים יסודיים שאין להם סיבה מקדימה, הם לא ניתנים לחלוקה או שינוי, ולא ניתן להסביר אותם על ידי מנגנונים יסודיים יותר.
אם הפיסיקאים מעוניינים למצוא תורה מאוחדת עליהם לקבוע, למשל, האם הם מקבלים את עקרון חוסר השתנות מהירות האור, שהוזכר קודם, כעקרון יסודי שכזה. אם הוא לא עקרון יסודי, סימן שיש מנגנון יסודי יותר שמאפשר אותו, וזה מעניינם לנסות ולמצוא אותו.


1.8. כעת, יש הגיון מסוים בגישת Suac, והטיעונים הם שבסופו של דבר כל מה שקיים עבורינו הן רק תוצאות התצפיות והניסויים שאנו עורכים.

בוא נדמיין שמישהו כתב תוכנת מחשב שמציירת מעגל. באופן עקרוני ניתן לכתוב אינספור תוכנות שונות שייצרו את אותו המעגל בדיוק.
תוכנה אחת פשוט מכילה מראש רשימה של המיקומים על המסך של כל הנקודות השייכות למעגל וצובעת אותם אחד אחרי השני. תוכנה אחרת מחשבת את איפה לסרטט את המעגל על ידי מציאת כל המיקומים במסך שנמצאים במרחק שווה מנקודת מרכז המעגל. תוכנה שלישית משתמשת בפונקציות המבוססות על יחסים מתמטיים כגון המספר "פאי", סינוס וקוסינוס.
בואו נחשוב על תוכנת המחשב כמייצגת את המציאות שלנו ואת מסך המחשב כמייצג החלק מתוך המציאות בו אנו יכולים לצפות. אנו יכולים ליצור מספר תיאורית כיצד צויר המעגל, וכל התיאוריות ייצגו את המעגל באופן מדויק.
אם יש לנו יכולת לבצע ניסויים מסוימים עם המעגל, נוכל לבחון מי מהתיאוריות שלנו תואמת את תוצאות הניסויים.
אבל אם אין לנו יכולת לבצע ניסויים נוספים, אז אנו באופן כלשהו יכולים לומר שכלל לא משנה מה המנגנונים אמיתיים שיצרו את המעגל (האלגוריתם), כי הם לעולם לא יהיו נגישים או ניתנים לזיהוי.
לכן במקרה זה המציאות עבורנו תהיה התיאוריה שמצליחה לתאר את המעגל בצורה הכי טובה.
ואכן גישת Soac התפתחה בעידן מכאניקת הקוונטים, בה נראה שהיכולת שלנו לגלות תופעות יותר יסודיות באמצעות מדידה נתקלת במחסום, כיוון שאנו מדברים על קנה מידה כו קטן כך שאקט המדידה עצמו משפיע על התנהגות התופעה הנמדדת (לדוגמא בניסוי שני החריצים המפורסם).
כך שזו אכן יכולה להיות אינדיקציה שהגענו לרמה היסודית ביותר של המציאות, או לפחות לרובד היסודי ביותר עבורנו, כלומר שביכולתנו למדוד, ובנקודה זו אכן אין לפיסיקה אפשרות למצוא הסברים סיבתיים, כיוון שגם אם נפתח תיאוריות סיבתיות, לא תהיה לנו שום דרך לוודא את נכונותן.
עם זאת, אני חושב שמוקדם מידי להסיק שהגענו להבנת הרכיבים היסודיים ביותר של היקום,  ועד שלא תהיה לנו תיאוריה אחת מאוחדת המסבירה את כל התופעות הנצפות, אין לוותר על הצורך לנסות ולהסביר את התיאוריות הקיימות באמצעות הסברים סיבתיים המתבססים על תיאוריות יותר יסודיות.


2. מתמטיקה וסיבתיות

2.1 אחת התופעות שבהן נתקלתי בקרב בוגרי הממסד האקדמי הפיסיקאי, ושאותה אני מייחס להתרחקות של הפיסיקאים מהפילוסופיה, היא חוסר ההבנה מה ההבדל בין מודל מתמטי לסיבתיות.
אדגים זאת באמצעות הדוגמא הפשוטה הבאה:

2.1.1. ניתן לפתח מודל שמתאר את היחס בין גובהו של מגדל, אורך הצל שמטיל המגדל, ומיקומו של מקור האור המאיר על המגדל.

המודל מוצלח במאה אחוז ובהנתן שניים מהגדלים תמיד נוכל לנבא את השלישי.

אבל המודל לא אומר לנו מי גורם למי.

האם האור והמגדל גורמים לצל? או שאולי הצל בשילוב האור יוצרים את המגדל? או שאולי הצל והמגדל קובעים את מיקום האור?

אם נסתכל רק מבחינת המשוואות המתמטיות, אין הבדל בין השלושה, כולם תקפים, כולם שקולים. זה בגלל ש:



משוואות מתמטיות מתארות יחסי השתנות אך לא יחסים סיבתיים


משוואה מתמטית מתארת כיצד שינויים באחד או כמה מהמשתנים משנה את המשתנים האחרים, אך בבואה לתאר את המציאות היא אינה לוקחת בחשבון יחס נוסף, והוא יחס הסיבתיות, קרי התלות, בין המשתנים.

2.2. ניקח כדוגמא את החוק השני של ניוטון המבוטא על ידי משוואה פשוטה המתארות יחסים מסוימים הקיימים במציאות. המשוואה נכתבת כך: f = ma

כאשר האות f מייצגת את הכח הפועל על גוף בעל מאסה m המאיץ (מגביר את מהירותו) בתאוצה a.
שימו לב שלא כתבתי שהכח הוא הסיבה לתאוצה של הגוף. המשוואה לא אומרת לנו זאת. המשוואה רק אומרת לנו שאם יש לנו גוף בתאוצה סימן שפועל עליו כח, ואם פועל עליו כח אז הוא נע בתאוצה.
אם אנו רוצים לדבר על יחסים סיבתיים הקיימים במציאות המתוארת על ידי המשוואה, אנו יכולים להסתכל על כך בשני היבטים שונים.
כפי שציינתי במאמר "מהי סיבתיות?" סיבתיות היא תלותיות. אחד המקומות בהן ניתן למצוא תלותיות הוא בזמן. הסיבה מתרחשת לפני התוצאה, כלומר כל רגע בזמן תלוי ברגע שקדם לו.
נדמיין טייס מטוס המדליק את המנוע שבתורו מפעיל כח על המטוס והמטוס מאיץ. במקרה זה הפעלת הכח מהמנוע היא הסיבה ותאוצת המטוס היא התוצאה.
הפעלת הכח היא הגורם הבלתי תלוי והתאוצה היא הגורם התלוי.
יתכן ותשאלו, האין הפעלת הכח והתאוצה הם בו זמניים?
התשובה היא שמנקודת מבט של המנוע והמטוס כעצמים שונים, התשובה היא לא.
תאוצת כלל המטוס מתרחשת זמן קצרצר לאחר הפעלת הכוח, כי לוקח לכח זמן להתקדם מהמנוע לכל חלקי המטוס. ירכתי המטוס מתחילים להאיץ ראשונים והחרטום מאיץ אחרון. זה בגלל שהשפעת הכח על כלל המטוס איננה מיידית. המהירות המקסימלית בה יכולה לעבור השפעה היא מהירות האור, אבל במקרה של המטוס השפעת הכח מתקדמת הרבה יותר לאט. למעשה היא מתקדמת במהירות הקול. לא במהירות הקול באוויר אלא במהירות בה עוברים גלי קול במוצק ממנו עשוי המטוס.
כמו המטוס, הטייס גם הוא מואץ. הוא מואץ כי הכיסא עליו הוא יושב מפעיל עליו כח. הסיבה לכך שהכיסא מפעיל עליו כח היא שהמטוס האיץ.
כך שניתן לראות מקרים בהם כח גורם לתאוצה ומקרים בהם תאוצה גורמת לכח.

2.3. סיבתיות היא יחסי תלות. משוואות מתמטיות אינן אומרות לנו דבר על אופי התלות בין המשתנים או על סדר פעולתם בזמן.
אגב, במתמטיקה ניתן למצוא כלים אחרים שכן יכולים לבטא יחסי סיבתיות. למשל בפונקציות אנו מגדירים מי הגורם הבלתי תלוי ומי התלוי.
כמו כן כשאנו משתמשים במחשב כדי להריץ אלגוריתמים, כל פעולה של האלגוריתם מתבצעת ברגע אחר בזמן ומשפיעה על הפעולה הבאה אחריה. לדוגמא בפונקציות איטרטיביות כל איטרציה היא התוצאה של האיטרציה שקדמה לה והסיבה של האיטרציה העוקבת.


2.4. יחסי תלות לא חייבים להיות בזמן, ואכן ניתן לדבר על סוג נוסף של סיבתיות אותו כיניתי בשם "סיבתיות אנכית". בסיבתיות אנכית הסיבה והתוצאה מתרחשות בו זמנית. סיבתיות אנכית נוצרת מהתפישה שלנו, ומכך שהתופעות שאנו מצליחים לתפוס הן בעצם תיאור גס יותר של תופעות יסודיות יותר, שהן הסיבה לתופעות שאנו רואים.


2.4.1. למשל, הזכרתי קודם כיצד תופעת החום ניתנת להסבר על ידי הסבר יסודי יותר של תנועת מוליקולות החומר. במובן זה תנועת המוליקולות היא הסיבה לטמפרטורה, ולא להיפך.
זה בגלל שהמוליקולות ותנועתן הן גורם ממשי הקיים במציאות, בעוד הטמפרטורה היא תופעה נובעת (Emargent phenomena). כלומר היא רק הדרך בה החושים שלנו, או המדחום, לצורך העניין, קולטים את המציאות.

יתרה מכך, תנועת המוליקולות היא הסיבה לטמפרטורה ולא להיפך כיוון שלא בכל מקום בו יש תנועה של מוליקולות קיימת טמפרטורה. למשל, לא ניתן ממש לדבר על טמפרטורה של מוליקולה יחידה. לא תהיה לזה משמעות. בכל אופן לא אותה המשמעות שייחסנו לטמפרטורה בחומר.

אם הייתה לנו משוואה בה אחד המשתנים הוא הטמפרטורה ואחד המשתנים הוא המהירות הממוצעת של מוליקולות החומר, המשוואה לא הייתה יכולה להגיד לנו מהי הסיבה ומהי התוצאה. מי מהגדלים המתוארים הוא יסודי או ממשי, ומי פונקציה של התפישה שלנו.
אגב למעשה גם מוליקולות החומר אינן באמת קיימות, כי ניתן להסביר אותן על ידי רכיבים יותר יסודיים. מוליקולות ואטומים הן בעצם סידורים שונים של פרוטונים ניוטרונים ואלקטרונים, שהם החלקיקים התת אטומיים המרכיבים את החומר.
למעשה אפילו התיאור הזה אינו היסודי ביותר שאנו מכירים.

2.5. נחזור לדוגמא של המגדל והצל.

אם אנו חושבים שהמתמטיקה מתארת סיבתיות, אנחנו יכולים בטעות להגיע למסקנה שהצל יוצר את המגדל.
אבל מכל שלושת האפשרויות שהצגתי, רק אחת מתארת נכונה את המציאות מבחינה סיבתית, ואפשר לדעת באמצעות ניסוי מי מהשלוש היא האפשרות הנכונה.

סיבה היא גורם בלתי תלוי בתוצאה, ותוצאה היא גורם התלוי בסיבה.

אם אנו יכולים לשנות אחד מהפרמטרים באופן ישיר, השינוי שלו ישנה יחד איתו את הגורמים התלויים, בעוד הגורמים הבלתי תלויים לא ישתנו.

למשל, אם נגביה את המגדל, הצל יגדל אך מיקום מקור האור לא ישתנה.

אם נזיז את מיקום האור, אורך הצל ישתנה, אך לא גובה המגדל.

לשנות באופן ישיר את הצל מבלי לשנות את מקור האור או את המחסום של האור זה כבר בעייתי, אבל זהו בדיוק עוד רמז התואם את התוצאות הקודמות.

אנו יכולים להסיק שהצל הוא הגורם התלוי בעוד האור והמגדל הם הגורמים הבלתי תלויים.


3. מידע ממשי ומידע נגזר

3.1. דיברנו קודם על השאלה מי הם הרכיבים הממשיים היסודיים ביותר של היקום. האם אלו אלקטרונים? האם שדות הכוח? האם המרחב עצמו?
כדי להבין טוב יותר את השאלה הזו ניקח את אחת הנוסחאות הפיסיקליות הבסיסיות ביותר: דרך = מהירות X זמן. נוכל לשאול את עצמנו מי מהמשתנים בנוסחא הם הסיבה ומי הם התוצאה? מי הם הרכיב היסודי ומי היא התופעה הנובעת (Emergent phenomena)?
הדרך מייצגת לנו את המרחב, והרעיון שאפשר להיות במיקומים שונים במרחב.
הזמן הוא גודל שאנו מסיקים כשאנו מצמידים לאירועים שונים במציאות ערך המייצג את מצב המחזור בתופעות מחזוריות מסוימות, כגון חילופי יום ולילה, מחזור הירח, שעון וכדומה.
המהירות היא ההבדל במידה בה שני עצמים או יותר משנים את המיקום שלהם במרחב.
השאלה שלנו היא מי משלושת מהרכיבים הללו יסודיים  יותר, ומי נגזרים מתוך האחרים? האם יכול להיות שכל הרכיבים במשוואה יסודיים, ואף אחד אינו נגזר מהשני? (
אגב, יתכן שנראה לכם מוזר להתייחס לנוסחא דרך = מהירות X זמן כנוסחא בפיסיקה. היא עשויה להראות כהגדרה מתמטית. אבל בעקרון כל פעולה מתמטית הכוללת יחידות היא פעולה שנועדה לתאר את המציאות הפיסית, ולכן היא ביסודה נוסחא בפיסיקה. תופעת התנועה והמהירות, ותופעות הזמן והמרחק הן תופעות המוכרות לכל אדם מנסיונו האישי, היודע שככל שהוא נע מהר יותר הוא עובר מרחק רב יותר בזמן נתון. אך היות שהנוסחא המקשרת בין שלושת המשתנים כל כך מוכרת לנו, כך שאנו מתייחסים אליה כאילו היא נוצרה כהגדרה במקור, ללא תלות בתצפית, כלומר בנסיון)


3.2. בפיסיקה אנו מדברים על המידע המינימלי הנדרש כדי לתאר את כל שאר המידע של מערכת. למשל אם אנו יודעים כמה זמן עבר וכמה דרך נעשתה, אנו יכולים לחשב את המהירות. אם אנו יודעים את המהירות ואת הזמן שעבר, אנו יכולים לחשב כמה דרך נעשתה.
אם נחשוב על סימולציה ממוחשבת של מערכת פיסיקלית כלשהי, נוכל לראות שאין לנו צורך לשמור במחשב את כל המידע הידוע על המערכת (הזמן, המרחק והמהירות). מספיק לנו לשמור את המידע של שניים מהמשתנים, ואת המידע על המשוואה דרך = מהירות x זמן, כדי ליצור סימולציה מלאה של המערכת.
באותו האופן ניתן לחשוב על הגדלים היסודיים, שהם המנגנונים הפיסיים שקיימים במציאות, ככאלה המכילים מידע ממשי, בעוד כל שאר המידע הוא מידע נגזר.
לכן נשמע לי הגיוני להניח שאין כפילות מידע, ולא כל הרכיבים בנוסחא שתיארנו הם יסודיים.

3.3. אם לדוגמא, לצורך העניין, אלקטרון נע במהירות 100 מטר בשניה, ואם מהירות היא רכיב פיסי ממשי, אז המידע על המהירות של האלקטרון צריך להיות שמור איפשהו ביקום. עם זאת אנחנו יודעים שמהירות היא גודל יחסי. לאלקטרון אין באמת מהירות של 100 מטר בשניה. המהירות שלו היא כזו רק ביחס לגוף מסוים. נניח כדור הארץ. ביחס למכונית הנוסעת במהירות 30 מטר לשניה באותו הכיוון, האלקטרון נע רק במהירות של 70 מטר לשניה.
כך שזה עשוי להיות רמז שמהירות איננה גודל יסודי שבאמת יש לו קיום במציאות, והוא רק האופן בו אנו מודדים שינויי מיקומים בזמן.

אם זה נכון אז ניתן לכתוב את המשוואה כפונקציה באופן הבא:

מהירות = דרך / זמן 


כאשר המהירות היא פונקציה של הדרך והזמן.
כלומר המהירות תהיה הגורם הבלתי תלוי - התוצאה. הדרך והזמן יהיו הסיבה. כלומר רכיבים או מנגנונים פיסיים ממשיים שמהם נוצרת בתפישה שלנו תופעה המהירות.

(אגב באופן אישי אני חושב שמהירות של עצם היא כן גודל יסודי, וכן שמורה במנגנון פיסי כלשהו ביקום, אבל זה דורש הנחות נוספות וזהו כבר דיון אחר.)