אחד מהרעיונות המהווים מקור לפרדוקסים לוגיים ומתמטיים רבים הוא רעיון האינסוף.
פילוסופים ומתמטיקאים רבים חקרו את רעיון האינסוף, ולמרות זאת מצאתי לנכון לכתוב על כך, היות שלדעתי ישנן מספר אי הבנות המובילות לפרדוקסים, שעדיין רווחות אפילו בקרב חלק מהעוסקים בתחום.
1. אינסוף איננו מספר
1.1 - בואו נראה דוגמא לפרדוקס שכזה: כמה זה אינסוף ועוד אחד?
אנחנו יכולים לדמין שיש לנו שורה של תפוחים מרווחים כעשרה ס"מ אחד בין השני, הממשיכה מאיתנו ועד אינסוף.
מה זה אומר שיש לנו תפוחים עד אינסוף?
בגדול זה אומר שאם ננסה לספור את התפוחים, הספירה שלנו לא תסתיים.
כעת ניקח תפוח חדש (שלא נמצא בשורה שלנו), ונשים אותו במרווח בין שני תפוחים בשורה. כמה תפוחים יש לנו עכשיו?
ההגיון אומר שעדיין אינסוף.
מכאן אנו יכולים להסיק שאינסוף ועוד אחד הוא אינסוף. נכתוב: ∞ =1 + ∞
כעת על פי חוקי הארתמטיקה אנו יכולים להפחית אינסוף משני האגפים ולקבל 0 = 1.
קיבלנו סתירה.
כזכור פרדוקס הוא מצב בוא הסקת מסקנות לוגית, המבוססת לפחות על שתי הנחות בסיס הנחשבות לנכונות, מביאה לסתירה.
כאשר אנו מקבלים פרדוקס זה אומר שקרוב לוודאי שאחת מההנחות עליהן התבססנו היא שגויה.
אז איזו מההנחות עליהן התבססנו עשויה להיות שגויה?
1.2 - לדעתי השגיאה שלנו היא בהנחה שחיבור של אינסוף ואחד הוא בעל משמעות.
מהי המשמעות של 1 + תפוח? מהי המשמעות של 1 + אהבה?
ובכן אין לכך משמעות, כיוון שתפוח או אהבה אינם מספר.
אבל גם אינסוף איננו מספר.
אדייק מעט את הטענה האחרונה.
1.3 - מהו מספר? מספר הוא סמל שלרוב מייצג תכונה הנקראת כמות, וכמות היא תכונה הנוצרת עקב כך שהמחשבה שלנו מזהה בתפישת המציאות שלה עצמים הנבדלים אחד מהשני.
(הסבר נרחב יותר תוכלו למצוא במאמר "מהו מספר?")
1.4 - כשאנו מדברים על גודל אנו לרוב מתכוונים לכמות. עם זאת ישנה תכונה נוספת, שמקושרת לעיתים קרובות לשאלת הגודל, הנקראת תכולה.
נניח ויש לנו קופסא עם עשרה תפוחים - נקרא לה קופסא א'. כמות העצמים בקופסא היא עשר. כמו כן הקופסא מכילה תפוחים ולא אגסים.
ניקח קופסא שנייה ובה עשרה תפוחים ואגס - נקרא לה קופסא ב'. נוכל לומר שתוכן קופסא ב' מכיל את תוכן קופסא א' אך תוכן קופסא א' אינו מכיל את תוכן קופסא ב'.
אי לכך נוכל לומר בוודאות שגם כמות העצמים בקופסה ב' גדולה מכמות העצמים בקופסא א'.
1.5 - כעת נראה שהכלה וכמות גדולה יותר הולכים יחד רק כשמדובר בכמות עצמים סופית.
בואו נחשוב על קבוצת כל המספרים הטבעיים (...1,2,3). לקבוצה זו אינסוף איברים.
כעת נסיר ממנה את המספר 1. האם הקבוצה החדשה שיצרנו קטנה יותר מהקבוצה הקודמת?
מצד אחד נאמר שכן, כיוון שהקבוצה הקודמת מכילה את החדשה. מצד שני נאמר שלא, כי "כמות" האיברים בשתי הקבוצות הוא אינסוף.
כדי לפתור את הסתירה עלינו להבהיר לאיזו משתי התכונות המשויכות לתיאור הגודל אנו מתכוונים בשאלתנו? האם לתכונה ההכלה, או לתכונת הכמות?
1.6 - כשאנו מדברים על "אינסוף ועוד אחד" יש לכך משמעות רק אם אנו מסתכלים על התכולה. אנו יכולים להוסיף לאינסוף התפוחים אגס, או תפוח אחר שלא היה שם קודם לכן והתכולה תשתנה.
לעומת זאת אם אנו מסתכלים על הכמות, לא תהיה ל-"אינסוף ועוד אחד" משמעות כי לאינסוף אין כמות.
מדוע לאינסוף אין כמות?
מכיוון שאם ננסה לספור את אינסוף העצמים ולגלות את הכמות שלהם, לא נצליח לעשות זאת. האינסוף אינו "בר מניה" (הערה: אני משתמש כאן במושג "בר מניה" במשמעות אחרת מזו המשתמשים בה מתמטיקאים בתורת הקבוצות).
היות שלאינסוף אין כמות, לא ניתן להגדיל או להקטין כמות זו. לכן מבחינה כמותית אין שום משמעות גם להחסרה מאינסוף, הכפלת האינסוף או חלוקת האינסוף. הוא תמיד ישאר אינסוף*.
*המקרה היחידי יוצא הדופן הוא הכפלה של אינסוף באפס,אך גם כאן יש לנו הנחה שגויה כיוון שגם אפס איננו מייצג כמות. הרחבה על נושא זה ניתן למצוא במאמר "מהו מספר?".
2. סכימה של אינסוף מספרים
2.1 - אחת מאי ההבנות הנפוצות בהן אני נתקל הוא הרעיון שניתן לסכום אינסוף מספרים. את אי ההבנה הזו ראיתי מופיעה בעיקר כשעוסקים בטורים אינסופיים מתכנסים או באינטגרלים.
נניח שיש לנו טור אינסופי כזה: ½ + ¼ +⅛+ 1/16+ 1/32 ….
אם נסכום את האיברים נגלה שבכל שלב אנו מתקרבים יותר ויותר לתוצאה 1.
עם האיבר הראשון חסר לנו חצי כדי להגיע לאחד, עם חיבור האיבר השני חסר לנו רק רבע כדי להגיע לאחד, עם חיבור האיבר השלישי חסרה לנו רק שמינית כדי להגיע לאחת וכך הלאה.
ככל שנסכום יותר ויותר איברים התוצאה תתקרב ותתכנס לאחת.
התוצאה: 1 - נקראת הגבול. היא בעצם הגבול אליו שואף הטור, אך לעולם אינו מגיע אליו.
בקרב חלק מהעוסקים במתמטיקה ניתקלתי בגישה הטוענת שסכום של סדרה אינסופית מתכנסת והגבול שלה הם אותו הדבר. כלומר שסכום הסדרה שווה לגבול.
אינני מסכים עם גישה זו, ואני טוען שזוהי "קפיצה לוגית". כלומר מסקנה שאינה מבוססת על עקביות לוגית.
לצרכים מעשיים של חישובים זוהי מסקנה מאוד נוחה, אך אם אנו רוצים להשיג דיוק לוגי, היא לא מספקת.
הטענה שלי היא כזו. כל איבר נוסף שנחשב בטור יתן לנו תוצאה שאינה אחת. נוכל להמשיך לחשב עוד ועוד איברים ללא סוף, כלומר מבלי להפסיק, ולעולם לא נגיע לאחד.
אי לכך כדי לדייק יש להגיד שלא ניתן לסכום טור אינסופי (כי לא ניתן לסכום אינסוף). מה שכן ניתן לעשות הוא לומר שכשמספר האיברים בטור שאנו סוכמים "שואף לאינסוף", התוצאה תשאף לגבול.
2.2 - דוגמא נוספת היא האינטגרל. אינטגרל הוא דרך המאפשרת לנו לחשב את גודלה של צורה שאיננו יודעים לחשב את גודלה ישירות, על ידי פירוקה למקטעים קטנים שאנו כן יודעים לחשב. גודל זה יכול להיות אורך, שטח או נפח.
נקח דוגמא פשוטה. נניח ויש לנו מעגל ואנו רוצים למדוד את האורך שלו. יש לנו סרגל, אך איננו מכירים את הנוסחא לחישוב אורך המעגל. מה אנו יכולים לעשות?
אנו יכולים למשל לחלק את המעגל לשמונה קטעים שווים ולחבר כל התחלה וסוף של קטע בקו ישר, כך שנקבל מתומן. עם הסרגל נוכל למדוד את אורכו של המתומן. אורכו של המתומן אינו זהה לאורכו של המעגל אך הוא קרוב אליו.
אם נרצה לשפר את דיוק המדידה נוכל לחלק את המעגל לקטעים קטנים יותר. עשרים קטעים, מאה קטעים, אלף קטעים.
ככל שהקטעים יהיו קטנים יותר וככל שהם שואפים להיות אפס, כך נקבל תוצאה הקרובה יותר להיקפו של המעגל.
כאן לעיתים שוב מופיעה הקפיצה הלוגית השגויה לדעתי הטוענת שכאשר נסכום אינסוף קטעים התוצאה היא היקפו של המעגל.
כאן אפילו יותר קל לראות מדוע המסקנה הזו שגויה לוגית. אם יש אינסוף קטעים שווי אורך בתוך מקטע בעל אורך סופי, אורכו של כל קטע חייב להיות אפס. כל סכום של קטעים שאורכם אפס, ויהי אפילו אינסוף קטעים שאורכם אפס, יהיה תמיד אפס.
אי לכך כשמדובר באינטגרל, אורך הקטעים אותם אנו סוכמים לעולם אינו אפס.
זו גם להבנתי הסיבה ההסטורית בשלה האינטרגל אינו מוגדר על ידי הסימן Σ המשמש במתמטיקה לתיאור סכום. האינטגרל מקבל סמל משלו ∫, כיוון שהוא מוגדר כגבול אליו שואפים סכומי המקטעים, ולא בתור הסכום עצמו.
3. אינסוף כישות ואינסוף כתהליך
3.1 - אחד הדברים שיעזרו לנו להימנע מבלבולים כשאנו מדברים על אינסוף הוא להבין למה בדיוק אנו מתכוונים כשאנו מדברים על אינסוף. ישנם לפחות שני מובנים של אינסוף שאנו עשויים להתבלבל בינהם: אינסוף כישות ואינסוף כתהליך.
אינסוף כישות הוא הרעיון שקיים משהו שהמידה שלא היא בלתי מוגבלת. למשל כמות המספרים הטבעיים היא אינסופית. היא אינה מוגבלת.
לעומת זאת אם נספור את המספרים הטבעיים אחד אחרי השני, גם אם נספור עד אינסוף, כלומר מבלי להפסיק לעולם, לעולם לא נגיע לאינסוף מספרים. בכל רגע נגיע לעוד מספר סופי גדול מקודמו, אך לעולם לא נגיע לאינסוף.
הסיבה לכך שספירה היא תהליך. כל רגע ורגע אנחנו סופרים עוד אחד. גם אם הזמן של התהליך הוא אינסופי, התוצאה של התהליך בכל רגע ורגע בזמן היא סופית.
4. האם אינסוף קיים?
4.1 - עד כה דיברתי על אינסוף כמושג מתמטי. נשאלת השאלה האם המציאות כוללת אינסוף.
כלומר האם יש רכיב כלשהו של היקום שיש ממנו "כמות" אינסופית.
כפי שאני רואה זאת, אינסוף בעולם הפיסי הוא רעיון שהתפתח על בסיס הנסיון האנושי.
אנו יכולים לקחת דף נייר ולגזור אותו לשתי חתיכות. לאחר מכן אנו יכולים לקחת את אחת החתיכות ולגזור אותה לשתי חתיכות, וכך הלאה.
הנסיון האנושי מראה לנו שהגבול לחלוקה אינסופית הוא רק פונקציה של המכשירים שעומדים בידינו, ושתמיד ביכולתנו לחלק משהו שוב, אם יש לנו מכשיר עדין מספיק. לכן אנו מניחים שהיקום רציף וניתן לאינסוף חלוקות.
בפועל גילינו שדף נייר איננו רציף. למעשה הוא בדיד ומורכב מאטומים.
אמנם מצאנו שגם האטומים ניתנים לחלוקה, אך יתכן שככל שנעמיק נגלה שוב שהיריעה היסודית ביותר של היקום, המרחב עצמו, איננה רציפה ובעלת חלוקה אינסופית אלא בדידה ובעלת חלוקה סופית.
למעשה כבר היום מוגדר אורך פלאנק, כאורך המינימלי בו תצפיות עדיין אפשריות ומהווה מועמד למידת החלוקה הסופית של המרחב.
יתרה מכך, הנסיון לתאר תופעות במרחב רציף יוצרות פרדוקסים.
למשל פרדוקס אכילס והצב של זנון מתאר פרדוקס הנוצר כשמנסים לתאר תנועה במרחב רציף.
פרדוקס נוסף במרחב רציף נוצר כאשר מנסים להכיל עליו סטטיסטיקה.
למשל חשבו על לוח מטרה עליו יורים חץ. אם המרחב רציף הרי שישנן אינסוף נקודות על המטרה בהן החץ יכול לפגוע. אם ישנן אינסוף נקודות, אז הסיכוי לפגוע בכל נקודה הוא אחת חלקי אינסוף. כלומר אפס. אבל אם ההסיכוי לפגוע בכל נקודה הוא אפס, כיצד ניתן לפגוע בנקודה כלשהי?
כדי להתגבר על הפרדוקס הזה המציאו המתמטיקאים מושג שנקרא "צפיפות הסתברות". משמעותו של מושג זה בדוגמא שלנו היא שמחלקים את המטרה לכמה אזורים, קטנים ככל שנרצה, ועבור כל נקודה במטרה אנו נשאל מה הסיכוי שהחץ יפגע באיזור בו נמצאת הנקודה.
באופן זה למעשה הופכים המתמטיקאים את מרחב ההסתברויות שלהם מרציף לבדיד.
4.2 - אינני שולל את אפשרות קיומו של דבר אינסופי במציאות. יתכן שהמרחב אינסופי ומשתרע לכל עבר, כפי שמציעים אחדים מהפיסיקאים. עם זאת נכון לעכשיו אני נוטה להאמין שאין במציאות קיום לדבר שהוא אינסופי.
יתכן ותשאלו: אם אין במציאות דבר אינסופי, אז כיצד יתכן שאנו יכולים לתפוש את מושג האינסוף? איך אנו יכולים להמציא רעיון, כגון המספרים הטבעיים, שאין להם סוף?
4.3 - ובכן, אם נרד יותר לעומק נגלה שגם תיאור מתמטי מוגבל תחת אילוצים. הרי מהי בעצם מתמטיקה? מתמטיקה היא בסופו של דבר מחשבות בתודעה שלנו.
כפי שהסברתי במאמר "טבעה של המתמטיקה",למתמטיקה אין קיום ממשי מחוץ לתודעה.
כעת, גם אדם היוצר במחשבתו דימו של עצם אינסופי כמו למשל כמות הספרות של המספר פאי, מתאר אותו לעצמו באופן סופי. למשל רוב האנשים מתאריך לעצמם את המספר פאי בתור המספר 3.14. אחרים יכולים לייצר בתודעתם יצוג של פאי עם עשר, מאה או אפילו אלף ספרות אחרי הנקודה אבל תמיד ייצוג זה יהיה סופי.
מעולם לא חושב פאי עם אינסוף ספרות. כל אדם או מחשב שתיאר את פאי תיאור אותו עם מספר סופי של ספרות אותו הוא הצליח לחשב.
4.4 - עוד דוגמא. פרקטל מוגדר כצורה בעלת דמיון פנימי אינסופי. בפועל אנו יכולים לחשב אותו או לדמיין אותה רק במידה סופית של דמיון פנימי.
4.5 - כלומר, גם אם אנו יכולים לחשוב על אפשרות קיומו של משהו אינסופי, אנו יכולים לתאר לעצמנו אותו רק באופן סופי.
הסיבה לכך היא שגם המחשבה שלנו, וכל דבר מופשט שהיא יכולה ליצור, כפוף לחוקי הטבע ולאילוצים שלו. לדוגמא, כמות הזכרון שלנו היא סופית ובהתאם לכך גודל היצוגים שאנו יכולים לייצג לעצמנו במחשבה.
היות והמתמטיקה היא בסופו של דבר המחשבות של אנשים, ומחשבות של אנשים הן סופיות, אז גם כל המתמטיקה שהייתה קיימת מאז ומעולם אינה באמת מכילה אינסוף.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה
אשמח לענות לשאלות ענייניות לגבי הדברים שכתבתי, וכן מאוד אשמח לקבל נקודות מבט בונות והערות עליהם, על מנת שאוכל להרחיב את נקודות המבט שלי.