ראשית נבדיל בין מספר לספרה. ספרה היא בסך הכול סמל המייצג משהו. ממש כמו שאות היא סמל המייצג משהו. המשהו הזה הוא תכונה כלשהי של המציאות.
למשל, הספרה 1 יכולה לייצג אמת, והספרה 0 יכול לייצג שקר. שימוש כזה בספרות נעשה בתִכנות ובשערים לוגיים.
בעוד ספרות יכולות לייצג כל מיני דברים – כולל מספרים – מספר הוא רעיון המתאר תכונה הנקראת ״כמות״.
מהי כמות?
כאשר אנו מזהים שני עצמים (או יותר) אנו עשויים לתפוש אותם יחד כעצם חדש; כנבדלות חדשה. למשל, נניח שיש על שולחן ערמה של עשרה תפוחים; המחשבה שלנו עשויה לראות תפוח ועוד תפוח ועוד תפוח, אך היא עשויה גם ליצור עצם מנטלי חדש אותו היא תכנה בשם ״ערמת התפוחים״. כלומר היא תיתן לערמת התפוחים זהות משלה. כמו כן, היא תשייך לערמת התפוחים תכונה שאומרת שנבדלות זו מורכבת מריבוי נבדלויות. תכונה זו היא הכמות.
על ידי השוואה בין עצים מנטליים בעלי כמות אנו מגלים שתכונה הכמות אינה אחידה בין עצמים שונים. אם ניקח שתי ערימות של תפוחים, וננסה להתאים לכל תפוח מערימה אחת תפוח מהערימה השניה, אנו עשויים לגלות שאין התאמה.
באופן זה אנו יכולים לסווג יחד עצמים מנטליים בעלי כמות מתאימה ולתת להם שם. למשל נמצא שערימת תפוחים היא בעלת התאמה מלאה לקבוצת ילדים כלשהי, ולרגליים של כלב. את ערך הכמות של כל אלו נכנה בשם ארבע. זהו מספר.
מספר מייצג את הערך של כמות כלשהי.
אמרתי שכמות היא תכונה של ריבוי נבדלויות. אז מה לגבי תפוח יחיד? האם לא ניתן לומר שיש לו כמות שערכה אחד?
אפשר, אבל זוהי ככל הנראה התפתחות מאוחרת יותר הכוללת הפשטה של מושג הכמות.
הרעיון של כמות מתחיל להתפתח כשיש לנו שניים ומעלה. למעשה, לפי טענת ההיסטוריון בן המאה השישית, אִיזִידוֹרוּס מסֵבִילְיָה, אצל היוונים הקדומים המספרים החלו משתיים. אחד לא היה נחשב למספר כיוון שהוא ייצג עצם יחיד, בעוד כמות היא ריבוי של עצמים. ואכן, בספרו ״האלמנטים״, אוקלידס הגדיר מספר כריבוי של יחידות. גם אלף שנה לאחר מכן, אֶל־חַ'וְוַארִיזְמִי, אחד מאבות האלגברה, עדיין התייחס למספר כריבוי של יחידות. אפילו בימינו המילה מספר משמשת כדי לתאר ריבוי. אם יש לי מספר מטלות שעלי לבצע, אז הכוונה היא שיש לי יותר ממטלה אחת.
כיצד סוגי מספרים שונים נובעים מתפישת הנבדלות?
בתחילת המאמר אמרתי שמספרים לרוב מייצגים כמות, וכמות היא סכום של נבדלויות. עצמים שונים הנוצרים במחשבה, שכל אחד מהם מקבל זהות משלו ולכן נבדל מכל שאר העצמים.
כמו כן ציינתי שכמויות הנבדלויות מיוצגות על ידי המספרים הטבעיים, כלומר 1,2,3 וכך הלאה.
עם התקדמות המתמטיקה בני האדם פיתחו מספרים נוספים, ובהם המספר 0, שברים ומספרים שליליים. על פניו נראה שגם מספרים אלו מייצגים כמות היות ואנו יכולים להפעיל עליהן פעולות חשבונאיות ולקבל תוצאה בעלת משמעות.
למשל, הפעולה 1 + תפוח היא פעולה חסרת משמעות, היות ותפוח איננו מייצג כמות.
לעומת זאת 1 + 0 או 1 + ½ או 1 + 1- הן פעולות הנותנות לנו תוצאה משמעותית.
אם כן האם סוגי מספרים אחרים גם כן מייצגים כמות, ואם כן, כיצד אלו יכולים לנבוע מתפישה של נבדלות? מה המשמעות של חצי נבדלות או של מינוס נבדלות?
אפס:
אפס איננו מייצג כמות. הוא מייצג את הרעיון של כלום. של חוסר קיום.
אנחנו התרגלנו להתייחס לאפס ככמות, ולכן אין לנו בעיה להגיד שבסל יש אפס תפוחים, אך בתקופה מוקדמת יותר אנשים היו אומרים לכם שאמירה זו היא חסרת משמעות.
אפס תפוחים משמעותו שאין תפוחים. אם אין תפוחים אז גם אין שום משמעות לדבר על כמות של תפוחים.
למשל, חשבו שהייתי שואל אתכם כמה עצמים יש בסל ואתם הייתם עונים לי: עשרה תפוחים, אפס אגסים, אפס נעליים, אפס חדי קרן, אפס מדינות, אפס עיגולים סגולים שאומרים "היום יום שלישי" וכו וכו'.
אי לכך להגיד 1 + 0, זה פשוט להגיד 1. זו הסיבה שאנו מקבלים תוצאה בעלת משמעות, גם כאשר 0 איננו מייצג כמות.
הכפלה באפס היא כמו לומר שדבר מסוים אינו קיים. ניתן להגיד "תפוח כפול אפס", וזה יהיה בר משמעות עבורנו. משמעותו היא שלא קיים תפוח.
למעשה גם להגיד "תפוח כפול שתיים" זה בר משמעות עבורנו, כיוון שאנו תופשים את התפוח ככמות של יחידה אחת ולכן אנו יכולים להכפיל אותה. לעומת זאת להגיד "שתים כפול תפוח" או "בננות כפול שתיים" זה כבר לא בעל משמעות. אין משמעות להכפלת משהו פי תפוח, ולמילה "בננות" לא מיוחסת כמות שניתן להכפיל, אלא אם אנו מניחים מראש שמדובר בכמות מוגדרת של בננות.
חלוקה באפס היא כבר בעייתית ועשויה ליצור סתירות. אם אנו תופשים חלוקה ככמות הפעמים שכמות מסוימת יכולה להיכנס לתוך כמות אחרת, אז ניתן לומר שאפס יכול להכנס אינסוף פעמים בתוך כל כמות. אם לעומת זאת אנו מתייחסים לחילוק במובן של "כמה פעמים נכנסת כמות מסוימת בשניה מבלי שתישאר שארית", אז אנחנו כבר בבעיה. כי גם אם אפס נכנס אינסוף פעמים בכמות מסוימת, עדיין תשאר שארית, ולכן במתמטיקה חלוקה באפס איננה מוגדרת.
במילים אחרות אין שום כמות של "אי קיום" שניתן להרכיב יחד כדי לקבל משהו שקיים.
מספרים שליליים:
המספרים השליליים זהים כמעט לחלוטין למספרים הטבעיים. ההבדל היחיד הוא שסימן המינוס משמש לנו לתיאור של תכונה הפוכה.
למשל, אם המספריים 3,2,1 מייצגים עבורנו את הכמות של הכסף שברשותנו, המספרים 1-,2-,3- עשויים לייצג עבורנו כמות של חובות (כסף שאנחנו צריכים לאבד).
כך שעבור המחשבה שלנו, עדיין מדובר בנבדלויות. רק במקרה של מספרים שליליים המחשבה שלנו סופרת עצמים מופשטים הנקראים חובות במקום יתרות.
דוגמא נוספת. בפיסיקה המספרים החיוביים יכולים לייצג מהירות בכיוון מסוים והמספרים השליליים לייצג מהירות בכיוון ההפוך. גם כאן הכמות של המהירות (הנמדדת בכמות המטרים שעברנו במשך כמות שניות מסוימת) מיוצגת על ידי נבדלויות במחשבה בין אם היא שלילית או חיובית. המינוס במקרה זה מייצג תכונה הפכית.
שברים:
לכאורה קל לנו לחשוב על שברים של כמויות. חצי לבנה, שליש תפוח, שלושת רבעי שק קמח וכו'. בו זמנית נזכור שעצמים הם בעצם זהות נבדלת במחשבה שלנו. האם יש כזה דבר חצי זהות או חצי נבדלות?
התשובה היא לא. שברים עבורנו מייצגים נבדלויות שאחת התכונות שלהן נכנסת בתוך תכונה של נבדלות אחרת מספר פעמים.
בואו נחשוב על רבע ריבוע.
רבע הריבוע אינו רבע של זהות. הוא זהות שלמה בפני עצמה. הוא עצם מנטלי בפני עצמו שאחת התכונות שלו שהוא יכול להכנס ארבע פעמים בתוך זהות אחרת שאנו קוראים לה הריבוע הגדול.
גם רבע שק הקמח איננו רבע של זהות, אלא זהות שלמה במחשבה שלנו. זהות זו מתייחסת ל"כמות" מסוימת של קמח שאחת התכונות שלה היא שהיא יכולה להכנס בתוך הזהות הנקראת "שק קמח" ארבע פעמים.
אגב השברים הלא רציונליים, אלא שלא ניתן לבטא במדויק באמצעות מספרים שלמים, כגון שורש שתיים, פאי וכן הלאה, ניתנים ליצוג על ידי שברים רגילים באמצעות רמת דיוק ההולכת וגדלה בהתאם למידת הדיוק הנחוצה לנו.
למשל המספר שורש שתיים שווה בקירוב ל- …1.414
לכן קרש באורך שורש שני מטרים יכול להיות מיוצג על ידי קרש באורך מטר או על ידי 14 קרשים באורך של עשרה סנטימטר, או 141 קרשים באורך מילימטר, או 1414 קרשים באורך עשירית המילימטר וכך הלאה.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה
אשמח לענות לשאלות ענייניות לגבי הדברים שכתבתי, וכן מאוד אשמח לקבל נקודות מבט בונות והערות עליהם, על מנת שאוכל להרחיב את נקודות המבט שלי.