האם …0.99999 = 1? כן, אבל לא באמת…

ייתכן וכבר ונתקלתם בטענה - המקובלת על ידי רוב המתמטיקאים (אגב לא כולם) - שהמספר אפס ולאחריו אינסוף תשיעיות שווה לאחת. ייתכן וראיתם את כל ההוכחות לכך ולכן אתם כבר "יודעים" שזה נכון. לכן, לפני שתחליטו שאין טעם להמשיך לקרוא, הרשו לי להציג לכם דוגמה אחת יחידה ולאחר מכן, אם לא תמצאו אותה מעניינת, המשיכו בדרככם.

אם הדוגמה כן תעורר בכם עניין, תוכלו להמשיך לקרוא כדי להעמיק ולהבין מה באמת קורה.

ישנן מספר "הוכחות" מפורסמות לשוויון בין 0.9999 ל-1. רשמתי "הוכחות" במרכאות, כיוון שלא כולן נחשבות להוכחות פורמליות. אני טוען שכל ההוכחות הללו, לפחות אלו שאני נתקלתי בהן ואציג אותן בהמשך, מבוססות על הנחות סמויות שגויות, אותן אסביר ואפרט במהלך המאמר.

כמו כן, אני מניח שאחת התגובות שעשויה להתעורר בקוראים היא התהייה כיצד אני, שכלל אינני מתמטיקאי, מתיימר לטעון לשגיאות לוגיות בהוכחות המקובלות על מרבית המתמטקאים כיום. חשוב לי לתת מענה לתהיה זו, ולכן אגיד שלמען האמת אינני מגלה דבר חדש. ישנם ועודנו מתמטיקאים, ידועים יותר או פחות, שהעלו טענות זהות או דומות. אך ככל הנראה היבט זה של עבודתם אינו מוכר, ולכן נראה שקיים איזשהו קונצזוס בקרב כלל המתמטיקאים.

אתחיל עם אחת ה"הוכחות" הפשטניות ביותר שניתנות לשאלה: האם …0.9999 שווה ל-1, ונראה מהי הנחת היסוד הסמויה שנמצאת מאחוריה.

נבצע את התרגיל …0.9999 - 1

התשובה היא …0.0000

קיבלנו למעשה סדרה אינסופית שניבנית באופן הבא:

$ 0 + 0.0 + 0.00 + 0.000 ... $

סכומם של אינסוף אפסים הוא הרי אפס - כלומר אין שום הפרש בין 1 ל…0.9999 ולכן השניים הם אותו המספר. פשוט לא?

לא כל כך מהר.

נפלנו שולל אחר המראה של המספר: …0.0000
הסדרה הזו אינה נבנית באופן שחשבנו.

בואו ננסה לעשות את אותו התרגיל בצורה יותר מסודרת.

ראשית, נשאל עצמנו מהו בעצם המספר …0.9999?
בהמשך אתן תשובה מדויקת יותר לשאלה זו, אך ברמה הפשוטה ביותר, מספר זה הוא הסכום של הסדרה האינסופית הבאה:

$0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 …$

כעת בואו נחסיר מה-1 את איברי הסדרה אחד אחרי השני.

לאחר החסרת האיבר הראשון נישאר עם 0.1

לאחר החסרת האיבר השני נישאר עם 0.01

לאחר החסרת האיבר השלישי נישאר עם 0.001

וכך הלאה.

אנו רואים שבכל שלב נשארת לנו שארית.

נשאל עצמנו, מתי תעלם השארית?

והתשובה היא: לעולם לא.

לא משנה כמה איברים של הסדרה נחסיר מ-1, תמיד תישאר שארית – גם אם נמשיך להחסיר איברים ללא סוף!

לכן …0.9999 תמיד יהיה קטן מ-1.
(שימו לב! אינני טוען שאיפושהו בסוף המספר …0.0000 נמצא את הספרה 1.)

לעיתים בשלב זה אנחנו משתמשים בטענה "מיסטית", והיא שאם כמות האיברים בסדרה היא אינסוף, אז איכשהו הסדרה תצליח "לדלג" על הפער והסכום שלה יהפוך ל-1.

אבל לטענה זו אין כל הצדקה לוגית. הרי ראינו שסכום של כל מספר איברים של הסידרה תמיד משאיר שארית, אז למה שסכום אינסופי יהיה שונה? (וזה בנוסף לכך שהמושג של סכום אינסופי הוא בעצמו בעייתי ומכיל סתירות – אבל זה אשאיר לפעם אחרת)

מה באמת קורה פה?

הבעיה מתחילה מההנחה שהסמל …0.9999 הוא מספר. כלומר מייצג גודל בעל ערך מדויק.

האם ההנחה הזו שגויה? כן ולא.

אחת המגבלות של השיטה המספרית לתיאור גדלים, היא שהיא אינה יכולה לתאר בצורה מדויקת את כל הגדלים.

למשל, בשיטה העשרונית איננו יכולים לתאר בצורה מדויקת את הגודל $\frac{1}{3}$.

אם נחלק את 1 ב-3 נקבל 0.3 ושארית 0.1.

אם נחלק את השארית ב-3 נקבל 0.03 ושארית 0.01.

השארית לעולם לא תעלם ולכן לא נצליח לחלק את האחד לשלושה חלקים באופן מדויק.

זה אומר שאם יש לנו עוגה מלבנית, ואנו רוצים לחלק אותה לשלושה אנשים שווה בשווה, ואנו עושים זאת באמצעות סרגל מדידה המבוסס על שיטה עשרונית, כגון מטרים, סנטימטרים ומילימטרים, לא נוכל לחלק את העוגה שווה בשווה באופן מדויק.

האם זה אומר שלא ניתן לחלק את העוגה לשלושה חלקים שווים?

בוודאי שאפשר.

אנו פשוט צריכים שיטת מספור אחרת. למשל, שיטת מספור טרינארית. בשיטת מספור טריניארית יש לנו 3 ספרות בלבד. 0, 1 ו-2. הערך שלוש מיוצג על ידי שילוב הספרות 10. הערך ארבע על ידי הספרות 11, הערך חמש על ידי הספרות 12, הערך שש על ידי הספרות 100 וכך הלאה.

בשיטה הטרינארית שליש נכתב באמצעות המספר 0.1 – כלומר אין לנו בעיה לתאר שליש באופן מדויק באמצעות המספרים של שיטה זו. כמובן שבשיטה זו ניתקל בקושי לתאר מספרים אחרים.
למשל $\frac{1}{2}$ יהיה …0.1111.

אבל הקושי לתאר בצורה מדוייקת גדלים מסוימים אינה רק בעייה של שיטת המספור. היוונים הקדמונים מצאו שיש גדלים מסוימים שלא ניתן לתאר בצורה מדויקת בשום שיטה מספרית (או לייתר דיוק, בשום שיטה מספרית המבוססת על איבר יחידה בודד).

הם גילו שכשמנסים למדוד כמה פעמים נכנסת צלע הריבוע בתוך אלכסון הריבוע, לא ניתן למצוא כמות מדויקת. גם אם נחלק את הצלע ליחידות קטנות ככל שנרצה ונשאל עצמנו כמה פעמים נכנסת יחידה שכזו בתוך האלכסון, לא נגיע לכמות שלמה. תמיד תישאר לנו שארית מהאלכסון, שהיחידה שבחרנו לא תחפוף אותה בצורה מדוייקת.

הגדלים הללו נקראו אינקומנזורביליים, כלומר: חסרי מידה משותפת.

היחס בין אלכסון הריבוע לצלעו הוא שורש שתיים, כיוון שאם נכפיל את היחס הזה בעצמו נקבל את המספר 2. (או במונחים גיאומטריים, אם נבנה ריבוע שצלעותיו הן בגודל האלכסון, שטחו יהיה כפול משטחו של הריבוע המקורי)

היוונים כינו יחסים כגון $\sqrt{2}$ בשם אי-רציונליים (irrational), כיוון שלא ניתן ליצור אותם באמצעות יחס (ratio) בין שני מספרים שלמים.

כאמור כל שיטת מספור המשתמשת באיבר יחידה בודד, אינה יכולה לתאר במדויק את המספרים האי-רציונליים. (ניתן להמציא שיטות מספור המבוססות על יותר מאיבר יחידה אחד. למשל שיטת ספירה המבוססת על איברי היחידה 1 ו-  $\sqrt{2}$)

בשיטה העשרונית, $\sqrt{2}$ הוא גודל שערכו מתואר בקירוב על ידי המספר …1.4142135

למספר זה אינסוף ספרות. כלומר החישוב של ערכו המדויק לעולם אינו מסתיים.

הנקודה החשובה שעלינו לקחת מכל הסיפור הזה, הוא שישנם גדלים שלא ניתנים לתיאור מדויק באמצעות השיטה העשרונית.

אבל מכך שלא ניתן לתאר גדלים אלו במדויק באמצעות השיטה העשרונית, אין להסיק שהם אינם קיימים. הם בהחלט קיימים, לפחות מבחינה גיאומטרית.

על מנת שתהיה לנו מתמטיקה פשוטה ושימושית החליטו מתמטיקאים בשלב מסוים שכמו שצירוף הסמלים 0.5 מייצג את הגודל של חצי יחידה, צירוף הסמלים …0.3333 יכול לייצג את הגודל של שליש היחידה. במילים אחרות, …0.3333 יוגדר כשווה לשליש.

כל גודל שייצוגו העשרוני יוצר מספר בעל אינסוף ספרות, יוגדר כשווה לאותו המספר.

כך אנו מקבלים שיטת מספור שמאפשרת לתאר כל גודל.

המשמעות של שינוי הגדרות

האם מותר למתמטיקאים לשנות או להוסיף הגדרות כרצונם?

כן ולא.

כן, כיוון שבמהותה המתמטיקה היא שיטה דדוקטיבית טהורה. נכונות מסקנותיה אינו תלוי במציאות הפיזית (כמו במדע), אלא רק בהגדרות ובהנחות הבסיס שיצרו המתמטיקאים. כך למשל יכול המתמטיקאי להגדיר ש 1+1=3, ולנסות לבנות מהגדרה זו מודל מתמטי, גם אם סביר להניח שמודל זה לא יהיה מסוגל לתאר מהימנה את המציאות שלנו.

מצד שני, המתמטיקאים אינם יכולים להוסיף או לשנות הגדרות כרצונם, כיוון שברגע שאנו יוצרים הגדרה חדשה עבור מושג קיים, אנו בעצם משנים את המשמעות המקורית שלו. למשל, אם אנו מגדירים ש- 1+1=3 אנו בעצם משנים את המשמעות של פעולת החיבור.

מה שעשו המתמטיקאים בכך שהגדירו את הייצוגים האינסופיים כשווים לערכים אותם הם מנסים לייצג, הם שינו את משמעות הייצוג המספרי מסכום של סדרה סופית, לגבול של סדרה אינסופית.

למשל, המספר שמינית, הנכתב בשיטה העשרונית כ-0.125, הוא בעצם סכום של סדרה סופית.

הוא הסכום של 0.1 + 0.02 + 0.005

לעומת זאת, הסכום של הסדרה המיוצגת על ידי המספר …0.9999 אינו מגיע לעולם לאחת. אחת הוא הגבול של הסדרה. כלומר הערך הנמוך ביותר אליה הסכום של איבריה לעולם לא יגיע.

ברגע שכל המספרים מוגדרים על ידי הגבול של סדרה אינסופית, ולא על ידי הסכום של סדרה סופית, בעצם היינו צריכים לכתוב את המספרים כך:

1 היה הופך ל …0.9999

$\frac{1}{2}$ היה הופך ל …0.4999

$\frac{1}{3}$ היה הופך ל …0.3333

$\frac{1}{8}$ היה הופך ל …0.1249999

$\sqrt{2}$ היה הופך ל …1.4142

למעשה, כדי לפעול באופן לוגי-דדוקטיבי עקבי, לאחר שיישמנו את ההגדרות החדשות, היה עלינו להפסיק להשתמש בהגדרות הישנות. היה עלינו להפסיק להשתמש במספרים כמו 0.5, כיוון ש-0.5 מיוצג על ידי הסדרה האינסופית …0.5000

לסדרה זו אין גבול. כלומר לא קיים מספר מינימלי אליו היא לא יכולה להגיע. לכן ייצוג זה אינו תקף תחת ההגדרה החדשה.

אבל מסיבה כלשהי, במקום להשתמש בהגדרות החדשות בלבד, אנו משתמשים גם בהגדרה הישנה של סכום סדרה סופית, וגם בהגדרה החדשה של גבול סדרה אינסופית.

שימוש כפול בהגדרות שאינן שקולות הוא אסור, כיוון שהוא יוצר סתירות בתורה המתמטית; אך במקרה הזה הסתירות הן כל כך קטנות, כך שקל להתעלם מהן.

אבל מי שדיוק קפדני חשוב לו, לא יכול להתעלם מהסתירות הללו.

המשפט האחרון הוא קצת לא הוגן, כיוון שלדעתי מתמטיקאים הם האנשים שהדיוק הקפדני חשוב להם יותר מכל. כך שאינני יודע כיצד לכנות את הצורך בדיוק שכזה, שנראה שהוא פחות חשוב לרוב המתמטיקאים בימינו.

לפי ההגדרה הישנה של המספרים, המספר …0.9999 כלל איננו מספר. זהו תהליך סכימה שאינו מסתיים. אם בכל זאת היינו רוצים לטעון שישנם מספרים בעלי אינסוף ספרות היינו צריכים לדייק ולומר ש:

אינפיניטסימל + …0.9999 = 1 

מהו אינפיניטסימל? זהו "מספר" ששואף לאפס, כלומר הוא קטן יותר מכל מספר אחר, אך עדיין גדול מאפס.

אבל האם אינפיטסימל הוא מספר? כלומר האם יש לו ערך מדויק? גם פה התשובה היא לא. אינפיטסימל הוא תהליך. זהו תהליך הפחתה אינסופי שערכו הולך וקטן, אך לעולם לא מגיע לאפס.

אז איך זה שניתן להוכיח ש: 1 = …0.9999 ?

ישנן מספר "הוכחות", לנכונותו של השוויון האמור. בדומה ל"הוכחה" הפשטנית שהצגתי בהתחלה, גם ההוכחות האחרות כושלות בשל שימוש בהנחות שגויות.

כיצד זה ייתכן?

זה ייתכן כיוון שהנחות אלו הן סמויות ועדינות כל כך שקשה להבחין בהן.

אציג אותן להלן.

1. שליש כפול שלוש

אחת ה"הוכחות" הפשטניות יותר הולכת כך: אם אנו מסכימים ש:

$\frac{1}{3}$ = …0.3333

נכפיל בשני הצדדים ונקבל:

1 = …0.9999

הבעיה עם ההוכחה היא ההנחה ש- $\frac{1}{3}$ = …0.3333

אמנם זה מה שלימדו אותנו בבית הספר, אבל, כפי שהסברתי קודם, השניים אינם באמת שווים. לא ניתן לתאר שליש בצורה מדויקת באמצעות סכום של סדרה עשרונית.

2. סכום של סדרה הנדסית אינסופית

ישנה נוסחה מקובלת עבור סכום סדרה הנדסית אינסופית. הנוסחה נכתבת כך:

$S = \frac{a}{1-r}$

המספר …0.9999 נבנה על ידי סכימת הסדרה:

$S = 0.9 + 0.09 + 0.009 …$

כלומר:

$S = \frac{9}{10} \thinspace + \thinspace \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{10} \thinspace + \thinspace \frac{9}{10}  \cdot \frac{1}{100} …$

כלומר:

$S = \frac{9}{10} \cdot (\frac{1}{10})^0 + \frac{9}{10} \cdot (\frac{1}{10})^1 + \frac{9}{10} \cdot (\frac{1}{10})^2 ... a \cdot r^n$

הבסיס של איברי הסדרה הוא $a = \frac{9}{10}$, והיחס בין כל איבר למישנהו הוא $r = \frac{1}{10}$

נציב בנוסחה ונקבל:

$S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$

הנה, הוכחנו שהסכום של הסדרה האינסופית הזו הוא 1.

לא כך כך מהר.

עלינו להבין מאיפה מגיעה הנוסחה הזו.

הנוסחה הזו מגיעה מתוך נוסחה עבור סכום של סדרה סופית הנכתבת כך:

$$S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

כפי שאנו רואים, בנוסחה עבור סכום סדרה סופית מופיע הביטוי $r^n$.
איזה ערך נציב ב-$n$ כאשר סכום האיברים בסדרה הוא אינסופי?

ובכן לא ניתן. אינסוף איננו מספר.

אבל יש טריק. אנו מניחים שאם r הוא קטן מ-1 וגדול מ- 1- אז ככל ש-$n$ גדל, הערך של $r^n$ יקטן. כש-$n$ שואף לאינסוף, $r^n$ שואף ל-0 ולכן הוא זניח וניתן להתעלם ממנו.
כך אנו מקבלים את הנוסחה:

$S = \frac{a}{1-r}$

מכיוון שבמקרה שלנו $r = \frac{1}{10}$, כלומר הוא קטן מ-1 וגדול מ- 1- ניתן להשתמש בנוסחה.

אך למעשה הנוסחה הזו מבצעת "טריק" מאוד שימושי, אך חסר הצדקה לוגית.

ההנחה לפיה, אם $r^n$ שואף לאפס ניתן להניח שהוא שווה לאפס, אינה מדויקת. $r^n$ הוא אינפנטסימל. הוא לעולם לא יכול להגיע ל-0.

למעשה הנוסחה הזו אינה מחשבת סכום של סדרה אינסופית, אלא גבול של סדרה אינסופית ולכן ההוכחה אינה נכונה.

אגב, לא באמת ניתן לסכום סדרה אינסופית. מי שמתייחס לגבול של סדרה אינסופית בתור הסכום שלה, בעצם משנה את המשמעות של המושג סכום; והסברתי קודם מה הבעייתיות בשינוי הגדרות.

3. הוכחה אלגברית

נסמן את המספר …0.9999 באות $f$. כלומר:

$f = 0.9999…$

כעת נכפיל את שני האגפים ב-10.

הכפלה ב-10 פשוט מזיזה את הנקודה העשרונית מקום אחד ימינה, וכך נקבל:

$10f = 9.9999…$

אבל

$9.9999… = 9 + 0.9999… = 9 + f$

נציב ונקבל

$10f = 9 + f$

$10f - f = 9$

$9f = 9$

$f = 1$

$0.9999… = 1$

הנה, "הוכחנו" את השוויון.

אבל למעשה כדי להגיע להוכחה זו ביצענו פעולה לא מובנת מאליה.

ביצענו פעולת כפל על מספר בעל אינסוף ספרות. הכפלנו את …0.9999 ב-10.

אבל על סמך מה אנו מניחים שפעולות הכפל על מספרים סופיים עובדות באותו האופן גם על מספרים עם אינסוף ספרות?

למעשה הבחירה להכפיל ב-10 הטעתה אותנו, כיוון שבשיטה העשרונית הכפלה בעשר נראית כמו הזזה של הנקודה העשרונית ימינה, אך זה לא באמת כך. אם במקום להכפיל בעשר היינו בוחרים להכפיל ב-2 לא היינו יכולים לעשות זאת. היינו צריכים לבצע את פעולת הכפל על כל ספרה וספרה של המספר.

בואו ננסה לעשות זאת:

$0.9999… \times 2 = 0.9\times2 + 0.09\times2 + 0.009\times2 …$

$= 1.8 + 0.18 + 0.018 + 0.0018 …$

בואו נחבר את הסכומים הללו אחד אחרי השני ונראה מה יוצא:

$1.8$

$1.98$

$1.998$

$1.9998$

כיצד אם כן, תראה ההכפלה של …0.9999 ב-2 לאחר אינסוף ספרות?

האם אנו יכולים לקבוע שהיא תהיה …1.9999 ?

על סמך מה? לאן נעלם ה-8 שבסוף הסדרה? בכל סכום חלקי של הסדרה יש איבר אחרון והוא 8, אז מהי הלוגיקה שמאפשרת לנו לקבוע מה קורה "בסוף"?

הדוגמא הזו באה להראות לנו דבר מאוד פשוט: הכפלה של מספר בעל אינסוף ספרות איננה פעולה ברורה. "ההוכחה" מעלה "מעלימה" את חוסר הבהירות הזו על ידי הכפלה במספר מאוד ספציפי, שגורם לנו לפספס את הבעייתיות הלוגית שמתחת לפני השטח.

(בסרטון זה תוכלו לראות בעיות רבות נוספות שעשויות להתעורר מהכפלה של מספר בעל אינסוף ספרות)

4. אין מספר בין 1 ל …0.9999

"הוכחה" מפורסמת נוספת מסתמכת על העיקרון לפיו בין כל שני מספרים תמיד ניתן למצוא מספר שלישי שקטן מהאחד וגדול מהאחר. למשל בין $\frac{1}{4}$ ל $\frac{1}{3}$ ניתן למצוא מספר כגון $\frac{7}{24}$ שהוא קטן יותר מ- $\frac{1}{3}$ אבל גדול מ- $\frac{1}{4}$ .

לא ניתן למצוא מספר שכזה בין 1 ל - …0.9999 (את ההוכחה המלאה ניתן למצוא בסרטון זה)

הבעיה עם ההוכחה הזו היא שהיא מניחה ש - …0.9999 הוא מספר - כלומר שיש לו ערך מוחלט.

למעשה מבחינה לוגית, ההוכחה שאין מספר בין …0.9999 ל- 1, אינה מחייבת את המסקנה שהם שווים. המסקנה גם עשויה להיות ש - …0.9999 כלל איננו מספר - כלומר שאין לו ערך מוחלט.

ואכן, כפי שראינו קודם, במשמעות המקורית, …0.9999 איננו מספר אלא תהליך. הוא סדרה אינסופית מתכנסת שהגבול של הסכום שלה הוא 1.

זה אומר שעבור כל מספר קטן מאחד ניתן לחשב את התהליך הנ"ל עבור n איברים, כך שסכומם יהיה גדול מהמספר, אך עדיין קטן מאחד.

אם לעומת זאת נשתמש במשמעות החדשה, זו שלפיה מספר מוגדר באמצעות הגבול של סדרה אינסופית מתכנסת, אז …0.9999 שווה לאחד בהגדרה (ולא על בסיס הוכחה).

ה"הוכחה" הנ"ל, למעשה עושה בו זמנית שימוש בהגדרה המקורית של …0.9999 וגם בהגדרה החדשה. זו היא דוגמה לבעיות המתרחשות כאשר מגדירים מחדש מושגים מתמטיים, ולא זוכרים להפריד בין המשמעות הישנה והחדשה.