אחת השאלות ששהעסיקה פילוסופים רבים היא השאלה האם המתמטיקה היא המצאה או תגלית?
כפי שנראה בהמשך, ניסוח זה של השאלה אינו כל כך מוצלח כיוון שהוא תלוי באופן בו אנו מגדירים את המושגים המצאה ותגלית.
ניסוח מוצלח יותר של השאלה הוא: האם המתמטיקה היא תוצר המחשבה של בני אדם, או שיש לה קיום ממשי כלשהו במציאות, כזה שאינו תלוי במחשבה האנושית?
למשל, קל לנו לראות שחוקי המדינה הם תוצר של המחשבה אנושית. הם לא היו קיימים לפני שהאדם יצר אותם. ניתן לומר שחוקי המדינה הם המצאה.
חוקי הפיסיקה, לעומת זאת, הם אינם תוצר של המחשבה האנושית. אנו מנסחים חוקים אלו בעקבות תצפיות וניסויים שאנו עורכים בעולם. אי לכך המנגנונים המתוארים על ידי חוקי הפיסיקה הם בעלי קיום במציאות. בהתאם לכך ניתן לומר שחוקי הפיסיקה הם תגלית.
מה שהופך את המתמטיקה למקרה מיוחד זה היא שהיא מציגה מאפיינים של שתי הדוגמאות הקודמות.
מצד אחד נראה שהמתמטיקה נמצאת בכל מקום בטבע. ניתן למצוא את סדרת פיבונאצ'י בפרחים ובקונכיות. ניתן למצוא צורות הנדסיות בשלל תופעות, החל מכוורות הדבורים וכלה במבנים מולקולריים.
אי לכך שנראה שלמתמטיקה יש קיום כלשהו שאינו תלוי במחשבה האנושית.
מנגד המתמטיקה היא תורה דדוקטיבית טהורה. כלומר היא יוצאת מכמה אקסיומות (הנחות בסיס) שנוצרו על ידי המחשבה ומהן ניתן לפתח את כל שאר המסקנות, ללא צורך בתצפיות או ניסויים.
למעשה ניתן לשנות את האקסיומות ולקבל מתמטיקה שונה.
למשל בבסיס הגיאומטריה האוקלידית, זו שפותח על ידי היווני אוקלידס ונחשבה לתיאור של הטבע, קיימת אקסיומה האומרת "שדרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".
לעומת זאת קיימות גיאומטריות אחרות המבוססות על אקסיומות שונות.
למשל בגיאומטריה היפרבולית ניתן להעביר דרך נקודה אינסוף ישרים מקבילים לישר נתון, ובגיאומטריה הכדורית והגיאומטריה הפרויקטיבית (זו המשמשת ציורי פרספקטיבה) לא קיימים ישרים מקבילים כלל.
בהתאם לכך ניתן לומר שהאקסיומות המתמטיות הן המצאה. עם זאת המסקנות שניתן לגזור מהן מאופיינות יותר על ידי המונח תגלית.
למשל איננו מכירים את כל המספרים הראשוניים. כדי להכיר מספר ראשוני חדש איננו ממציאים אותו. אנחנו מחפשים ומגלים אותו.
לכן לדעתי השאלה המעניינת יותר אינה כיצד אנו מגדירים המצאה ותגלית, אלא האם למתמטיקה יש קיום ממשי מחוץ למחשבה של האדם?
במציאות הפיסית אין מתמטיקה אלא יחסים
ניתן לתאר את כל המתמטיקה כפיתוח דדוקטיבי ממערכות של אקסיומות. אם כן, מהי בעצם המתמטיקה שאנו מוצאים בטבע? בפרחים, באטומים וכו'?
למעשה כל מה שקיים במציאות הפיסית (זו החיצונית לתודעה) הם יחסים בין "גופים".
למשל, נניח שיש לנו שני מקלות, אחד ארוך יותר והשני קצר יותר.
ניתן למשל לגלות שהמקל הקצר נכנס בדיוק שלוש פעמים באורכו של המקל הארוך.
המספר שלוש לא נמצא לא במקל הארוך ולא במקל הקצר ולא בשום מקום אחר במציאות הפיסית.
המספר שלוש הוא דרך של המחשבה שלנו לתאר את יחס האורך בין המקל הקצר למקל הארוך.
באותו אופן אם נחבר את המקל הקצר לארוך נקבל מקל שאורכו ארבע פעמים המקל הקצר. גם פה, המספר ארבע אינו קיים במציאות של המקלות. הוא רק תיאור שיצרה המחשבה עבור יחס אחר בין המקלות.
באותו אופן הפרחים אינם כוללים את מספרי פיבונאצ'י, וחלת הדבש אינה מכילה את הצורה "משושה". אלו הם רק תיאורים של המחשבה שלנו המתארים את היחסים של מה שישנו.
האם המתמטיקה מתארת את המציאות הפיסית?
בראשיתה התפתחה המתמטיקה באופן אינדוקטיבי מתוך התבוננות בעולם הטבע ומתוך הנסיון להסיק מהם היחסים השולטים בו.
למשל, האקסיומה הראשונה של הגיאומטריה האוקלידית היא: "בין שתי נקודות ניתן להעביר רק קו ישר אחד".
אקסיומה זו ככל הנראה לא התפתחה מתוך מחשבה מופשטת, אלא בעקבות התבוננות בטבע והתנסות לפיה לא ניתן להעביר יותר מקו ישר אחד בין שתי נקודות.
למעשה השם גאו-מטריה, שמשמעותו הוא "מדידת הקרקע", מצביע לנו שתורה זו קשורה קשר הדוק למציאות הפיסית.
ניקח פעולה מתמטית פשוטה כגון מציאת שורש. עבורנו מציאת שורש, בין אם שורש ריבועי, שורש מעוקב או שורש מסדר כלשהו היא פעולה מתמטית כללית. אך לא תמיד זה היה כך.
בשלבים שונים במהלך ההסטוריה של המתמטיקה המשמעות של הפעולה 9√ הייתה אורך הצלע של ריבוע ששטחו 9. (מכאן השם "ריבועי").
משמעות הפעולה 8∛ הייתה אורך הצלע של קוביה שנפחה 8. (מכאן השם "מעוקב").
למיטב ידיעתי, שורשים מסדר גדול מ-3 היו חסרי משמעות. כמוהם גם פתרונות שליליים לשורשים. למשל הפתרון לשורש של ריבוע ששטחו 9 יכול להיות גם 3 וגם 3-. היות ואין כזה דבר אורכים שליליים, פתרונות אלו נחשבו ללא נכונים, לחסרי משמעות או לכל הפחות לחסרי תועלת, היות ולא היתה ידועה בזמנו מערכת יחסים במציאות הפיסית הניתנת לתיאור על ידי פתרונות אלו.
רק בשלב מאוחר יותר הבינו המתמטיקאים שהמתמטיקה יכולה לעמוד בפני עצמה, ושהאקסיומות שלה לא חייבות להיות בעלות מתאם לתופעה פיסית כלשהי.
כך למשל התפתחו הגיאומטריות הלא אוקלידיות, ללא קשר לנסיון לתאר את המציאות הפיסית. דבר זה לא מנע כמובן מלגלות עם הזמן שגם בגיאומטריות אלו ניתן להשתמש כדי לתאר יחסים מסוימים במציאות הפיסית, כפי שעשה איינשטיין בתורת היחסות הכללית שתיארה את המרחב כבעל גיאומטריה לא אוקלידית. אינשטיין מצא שהנסיון שלנו המראה לנו שהעולם הפיסי כפוף לחוקי הגיאומטריה האוקלידית הוא רק מקרה פרטי המתרחש בתנאים בהם אנו חיים.
מה משמעות הקביעה שהמתמטיקה יכולה לתאר יחסים של העולם הפיסי?
ניתקלתי לא אחת בטענה שבטבע קיימים רק המספרים הטבעיים, כגון 3,2,1…
שמספרים כגון מספרים שלילים, מספרים לא רציונליים (כאלו שיש להם אינסוף ספרות, כגון π או 2√ ), או מספרים מדומים (1-√) אינן נמצאים בטבע.
למשל, ניתן למצוא 3 תפוחים או 3 אטומים, אך לא ניתן למצוא מינוס שלושה תפוחים.
אך זהו בגלל שהיחס אותו אנו מתארים הוא יחס הנקרא כמות.
כמות מתארת דבר שישנו, אי לכך אין משמעות פיסית לכמות בגודל 0 או קטנה מ-0.
אם היינו רוצים לתאר יחסים אחרים בטבע היינו יכולים לעשות זאת באופן מוצלח גם על ידי מספרים אחרים.
למשל מספרים שליליים יכולים לשמש כדי לתאר כיוון.
בפיסיקה מהירות בכיון מסוים תוגדר על ידי מספר כלשהו ומהירות בכיוון ההפוך תוגדר על ידי מספר שלילי כלשהו.
זה לא שיש בכיוון ההפוך משהו שלילי. פשוט היחסים בין המספרים השליליים והחיובים הם בעלי אותו מתאם כמו היחסים בין מהירות בכיוון אחד לאחר, ולכן ניתן להשתמש בהם כדי לתאר מהירות.
מכאן שניתן לראות במתמטיקה כל מערכת לוגית המפותחת מתוך הנחות בסיס שרירותיות. שרירותיות במובן שניתן להמציא אותן והן אינן תלויות במציאות הפיסית.
מערכות מתמטיות מסוימות עשויות לתאר יחסים הקיימים במציאות הפיסית, ואחרות לא.
היות והנחות הבסיס של המתמטיקה הן שרירותיות,לא ניתן להסיק את הוודאות שיש לנו לגבי מסקנותיהן על המציאות הפיסית. עלינו לוודא שהמסקנות נכונות באמצעות תצפיות וניסויים.
איינשטיין תיאר עקרון זה במשפט הבא: "כל עוד משפטי המתמטיקה מתייחסים אל המציאות אין הם ודאיים, וכל עוד המשפטים ודאיים אין הם מתייחסים למציאות." (מתוך הרצאה בשם "גיאומטריה ונסיון" שנשא איינשטיין ב-1921 באקדמיה הפרוסית למדעים)
כיצד נוצר ההגיון המתמטי?
אחת השאלות שהעסיקה פילוסופים רבים היא: "האם היסודות המתמטיים הבסיסיים הם אוניברסליים והידע אודותם טבוע באופן כלשהו בנפש האנושית (א-פריורי), או שהוא נרכש באמצעות הנסיון (א-פוסטריורי)?"
למשל האם מספרים, פעולות החשבון או אפילו פעולות לוגיות הם טבועים במבנה המחשבה, או שהם נלמדים? כמו כן האם הם חייבים להיות כפי שהם או שהם יכולים להיות אחרים?
בואו נתחיל מאחת ההנחות שנחשבות לבסיסיות ביותר במתמטיקה: 2=1+1.
כשבני הפעוט ידע כבר להבדיל בין אחד לשתיים, ניסיתי ללמד אותו אמת זו.
הייתי לוקח חפץ בכל יד, נניח תפוח ומחזיק אותם במרחק מה אחד מהשני.
הייתי אומר "אחד" ומקרב אליו את התפוח ביד ימין. לאחר מכן הייתי מרחיק אותו, אומר שוב "אחד" ומקרב אליו את התפוח ביחד שמאל. לאחר מכן הייתי אומר "אחד ועוד אחד", מצמיד את שני התפוחים, ואומר "שתיים".
היות והוא כבר ידע להבדיל בין אחד לשתיים ציפיתי שהוא יבין את פעולת החיבור באופן טבעי. אבל זה לא היה מובן מאילו. לקחו לו, למיטב זכרוני, שבועיים של תרגולים כדי להבין את הכלל החדש הזה.
אסביר מה לדעתי קורה בנפשו של תינוק כאשר הוא לומד עקרונות אלו.
הדבר הראשון שעליו ללמוד הוא את המושג "אחד". כדי ללמוד את המושג "אחד" עליו לפתח את תפישת הנבדלות.
בתודעה חלקה, ואנו מעריכים שתודעתו של תינוק היא חלקה, לפחות במידת מה, לא קיימת תפישה של נבדלות. לא קיימים עצמים נפרדים. הכל נתפס יחד.
התינוק לא יודע לבדיל בינו לבין אימו לבין הבקבוק. כל מה שנמצא בתודעתו מופיע יחד כעצם יחיד.
דומה הדבר למצב בו אנו מסתכלים על ענן. מבחינתנו הענן נתפש כיחידה אחת. לפתע אנו מזהים שחלק מסוים בענן דומה לפרצוף. ברגע זה ישנו בתפישה שלנו שני "עצמים", כלומר שתי זהויות. הפרצוף ושאר הענן. פעולת הזיהוי יוצרת נבדלות. ישנו זה וישנו האחר.
ברגע שקיימת תפישה של נבדלות ניתן ללמד תינוק את המושג אחד. למשל מראים לו תפוח ואומרים "אחד", מראים לו "תפוז" ואומרים "אחד". בהדרגה לומד התינוק שניתן לשייך לכל נבדלות את המילה "אחד".
באותו אופן ניתן ללמד את המילה "שתיים", על ידי שני תפוחים, שני תפוזים וכדומה. התינוק לומד שכל שתי נבדלויות יכולות להיות מיוצגות על ידי המילה "שתיים".
פעולת החיבור איננה רק מושג, כלומר איננה רק מילה המקושרת להתנסות. פעולת החיבור היא תהליך שיש לו סדר פעולות. היא אלגוריתם.
עבור תינוק שלמד חיבור באופן בו לימדתי את בני, פעולת החיבור של שני מספרים היא אלגוריתם: קח יחידה, קח עוד יחידה, קרב אותן אחת לשניה וכעת ספור אותן.
אלגוריתם זה הוא איננו אלגוריתם אוניברסלי או מחייב במתמטיקה. יכולים להיות אלגוריתמים שונים.
למשל, האלגוריתם של פעולת חיבור שעות בשעון מחוגים איננו זהה לאלגוריתם לחיבור כמויות. אמנם הוא דומה, כי גם אצלו 2=1+1, אבל באלגוריתם זה 1=12+1.
למעשה אני די בטוח שניתן שבאופן דומה לזה בו מלמדים תינוק ש2=1+1 ניתן ללמדו ש: 3=1+1.
לוקחים שני תפוחים, אחד בכל יד, מראים אותם לתינוק ואומרים "אחד" ועוד "אחד", מכניסים אותם לקופסה בה כבר קיים תפוח נוסף ומראים לו מה יש בקופסא, ומכריזים "שלוש". עם הזמן הוא ילמד שצירוף של אחד ועוד אחד גורם להופעה של שלשה.
יתכן ותגידו "אבל אתה מעוות את המציאות"!
כל מה שעשיתי הוא להראות שבהינתן חווית מציאות כלשהי, המוח יכול לפתח אלגוריתם שיתאר אותה.
נכון שחווית מציאות זו נוצרת באופן מאוד מלאכותי, אך מבחינת האופן בו הוא מתפתח במחשבה, אין הבדל מהותי בין האלגוריתם הזה לאלגוריתם לפיו 2=1+1.
למעשה אפילו ניתן לחשוב על יחסים בטבע שאלגוריתם כזה יכול לייצג.
למשל גבר + אישה = גבר, אישה ותינוק, או חוט + חוט = שני חוטים וקשר. יחס מעין זה מתואר על ידי הביטוי: "המכלול גדול מסכום חלקיו".
למעשה ניתן לפתח מתמטיקה שלמה על בסיס ההנחה ש: 3=1+1, אם כי צריך להגדיר היטב את האלגוריתם של פעולת החיבור. למשל אם נרצה לבצע במערכת מתמטית שכזו את הפעולה 1+2, אם האלגוריתם מוגדר כך שכל יחידה מתחברת רק ליחידה אחת, אז 1+2 יהיו שווים ל-4. אם האלגוריתם מוגדר שכל יחידה מתחברת לכל יחידה אחרת, אז 1+2 יהיו שווים ל-6.
האם מתמטיקה שכזו תתאר את המציאות?
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה
אשמח לענות לשאלות ענייניות לגבי הדברים שכתבתי, וכן מאוד אשמח לקבל נקודות מבט בונות והערות עליהם, על מנת שאוכל להרחיב את נקודות המבט שלי.