טבעו של הזמן

הזמן הינה אחת התופעות המסתוריות ביותר. למרות שאנו מכירים את הזמן מההתנסות האישית שלנו בכל רגע מחיינו, נראה שקשה להבין מהו הזמן.
למרות ההסברים הרבים הרבים שניסתה האנושות לתת לזמן, הסברים אלו עדיין השאירו שאלות ללא מענה.

לדוגמא, אלברט איינשטיין, אחד האנשים הכי מקושרים לחקר הזמן, הציע שהזמן הוא בעצם מימד רביעי, נוסף על שלושת מימדי המרחב. גישה זו נמצאה מאוד נוחה לצורך חישובים, ולצורך הסברים של תכונות מסוימות של תופעת הזמן, אך בו זמנית היא רק עוררה עוד שאלות.

למשל, אם הזמן הוא מימד נוסף, מדוע הוא כה שונה בתכונותיו ממימדי המרחב?
מדוע בעוד אנו יכולים לשהות בכל נקודה שאנו רוצים במרחב, במימד הזמן אנחנו מחוייבים לנוע?
יתרה מזו, מדוע במימד הזמן, בשונה מבמרחב, התנועה שלנו מוגבלת רק לכיוון אחד, כלומר, לכיוון העתיד?

במאמר זה ברצוני להציג הסבר על טבעו של הזמן. הסבר זה איננו תיאוריה שיצרתי, אלא תובנה אחת יחידה ופשוטה, שברגע שהיא מובנת, היא מסדרת מחדש את כל הידוע לנו על הזמן. היא גם מתיישבת בהתאמה מלאה עם כל התופעות המוכרות לנו, וגם מסבירה שאלות שהתקשינו להסביר עד היום, כמו למשל, מדוע קיים כיוון לזמן? (מהעבר לעתיד), מדוע הוא נמצא בתנועה מתמדת? מדוע לא ניתן לחזור לעבר? האם לעבר ולעתיד יש קיום ממשי?

כעת, למרות שכפי שכתבתי, התובנה שברצוני להציג היא פשוטה, אין זה אומר שהיא פשוטה להבנה. אם היא הייתה פשוטה להבנה היינו רואים אותה בשכיחות הרבה יותר גבוהה בשיח אודות מהות הזמן. מההיכרות שלי עם הפילוסופיה המערבית והפיסיקה התיאורטית, נתקלתי בתובנה זו רק במקרים נדירים וגם אז ללא פיתוח מלא שלה.

ההסבר שלי לכך שתובנה זו אינה פשוטה להבנה, היא בגלל שהיא דורשת מאיתנו להשתחרר מתפישות מסוימות שנוצרו לנו על הזמן, תפישות שהן כה מושרשות, הן בהתנסות היום יומית, והן ברעיונות המקובלים על הזמן. אפשר לראות בצורה ברורה את ההתבטאות של קושי כזה כאשר לומדים את תורת היחסות הפרטית של איינשטיין. הצורך לעבור ממושג של זמן קבוע ואחיד לכולם לזמן שהוא בלתי אחיד ואף דינאמי, דורש מאיתנו להשתחרר משורה שלמה של תפישות שיש לנו באופן אינטואיטיבי על מושג הזמן, ולאמץ תפישה שהיא כלל איננה אינטואיבית עבורנו.

היות ומצאתי שהסבר ישיר של רעיון שאיננו אינטואיטיבי יוצר קושי בהבנתו, אתן כאן מספר דוגמאות והסברים מקדימים שאני מקווה שיוכלו ליצור קרקע משותפת שתאפשר בסופו של דבר להבין את התובנה ההמוזכרת לעיל כפי שאני מבין אותה.

התנאי הראשון מופנה לכל מי שיש לו קצת או הרבה ידע בפיסיקה העוסקת בתופעת הזמן. אני מבקש מכם לנסות ולשים לרגע בצד את כל ההסברים שאתם מכירים עד כה על הזמן, ולנסות לבחון את ההסברים שלי כאילו הייתם מנסים להבין את בעיית הזמן בפעם הראשונה.
במאמר זה אני אראה כיצד ניתן להבין את התופעות הקלאסיות של הזמן מנקודת מבט חדשה ופשוטה יותר, וכל מה שאבקש מכם הוא לנסות ולראות שנקודת מבט זו עובדת היטב.
לאחר מכן, במאמר הרחבה נפרד, אדבר על תופעות מתקדמות יותר הקשורות לזמן: אנטרופיה, האטת זמן, וזמן-מרחב, ונראה כיצד נקודת המבט החדשה על הזמן מתיישבת עם אלו, ואפילו מסבירה את חלקן באופן נרחב ואינטואיטיבי יותר.
קישור למאמר ההרחבה תמצאו בתחתית מאמר זה.

כעת, על מנת שנוכל להסתכל על הזמן בעיניים חדשות, ולא דרך התפישות המושרשות שיש לנו עליו, עלינו להיות מודעים להן ולאופן שבו הן נוצרו. לכן בואו נתחיל מלנסות לתת תשובה לשאלה "כיצד נוצרות באדם תפישות הזמן?"
נעשה זאת באמצעות התנסות מחשבתית. זהו תרגיל מפושט (simplified), אז נסו להבין את המהות שלו, מבלי להתפס לאי דיוקים ודקויות טכניות.

דמיינו לעצמכם שאתם ילד/ה בן/בת שנתיים בתקופת האדם הניאנדרטלי. נניח לשם הפשטות שעד גיל שנתיים חייתם בתוך מערה חשוכה לחלוטין, ולא התנסיתם באף התנסות חושית.
יום אחד מחליטים ההורים שלכם להוציא אתכם החוצה מהמערה וזוהי הפעם הראשונה בה אתם פוגשים במציאות.
ברגע שיצאתם מהמערה ראיתם את העולם, ותמונת העולם שראיתם כוללת כלב ישן ונתח בשר במרחק מה ממנו. מבחינת התודעה שלכם, כל המציאות כולה היא כלב ישן ונתח בשר.

מציאות נתפסת

בו זמנית, באמצעות תכונה של הנפש (mind) הנקראת זכרון, תמונת מציאות זו נשמרת אצלכם.

בנקודה מסוימת מתרחש חידוש. הכלב קם על רגליו הולך אל הבשר ומתחיל לאכול ממנו.
בנקודה זו, מבחינת ההתנסות שלכם, כל המציאות כולה היא כלב שאוכל בשר.

מציאות נתפסת חדשה

בשלב מסוים, במקביל לחווית הכלב שאוכל בשר, מתעורר אצלכם זכרון של מציאות בה יש כלב ישן (המציאות אותה חוויתם ושנרשמה בזכרון). אתם משווים בין המציאות הנתפשת בחושים לבין הזכרון ומגיעים למסקנה שתפישת המציאות של הכלב הישן קדמה לתפישת המציאות של הכלב שאוכל בשר. בנקודה זו יצרתם את תפישת העבר. יש לכם תפישה של מה שקיים, ומה שהיה קיים לפני כן.

יצירת תפישת העבר על ידי השוואה בין התפישה בהווה לזכרון

בשלב הבא הכלב עוזב את הבשר וחוזר לישון. שוב יש לכם תפישת מציאות של כלב ישן ובשר. רק שהזכרון שמתעורר אצלכם אודות הכלב הישן והבשר, קצת שונה מהמציאות שאתם חווים. במציאות שאתם חווים יש פחות בשר מהמציאות שבזכרון.

לאחר שהתהליך שתיארנו עד כה חוזר על עצמו מספר פעמים אתם מגיעים למסקנה שהבשר תמיד מצטמצם כשהכלב אוכל אותו. יצרתם את תפישת הסיבתיות.
את תפישת הסיבתיות אפשר להבין בפשטות במשפט הבא:
שינוי מוגדר בנקודה א, מלווה תמיד בשינוי מוגדר בנקודה ב.

תפישת הסיבתיות: שינוי מוגדר בנקודה א, מלווה תמיד בשינוי מוגדר בנקודה ב

בעקבות ההבנה שהבשר מצטמצם כשהכלב אוכל אותו, ובאמצעות תכונה נוספת של הנפש הנקראת דמיון, אתם מצליחים לדמיין מציאות בה הכלב אוכל עוד בשר והבשר מצטמצם עוד יותר.

 שילוב בין תפישת הסיבתיות והדמיון יוצרת תפישת מציאות שטרם התנסינו בה

כמה נדהמים אתם לגלות שבשלב מסוים אתם חווים בדיוק את אותה המציאות שדמיינתם קודם לכן. מנקודה זו כל פעם שהכלב קם והולך לאכול את הבשר, אתם מדמיינים מראש את המציאות שתחוו. יצרתם את תפישת העתיד.

התנסות בתפישת מציאות שדמיינו קודם יוצרת את תפישת העתיד

בנקודה זו יצרתם לעצמכם תפישת זמן הכוללת את התכונות של עבר, יש (הווה) ועתיד.
שימו לב שתפישה זו נוצרה באמצעות החושים, הזכרון והדמיון. לשם יצירת תפישה זו אין צורך, ואפילו אין הצדקה שלעבר ולעתיד יהיה קיום עצמאי.

בנקודה מסויימת אתם שמים לב שיש תהליכים שמתקימים במחזוריות עקבית. למשל האור והחושך, ותנועת השמש בשמיים. כמו כן אתם מוצאים שתופעות מסוימת מתרחשות בו-זמנית עם חלק מסוים של התופעות המחזוריות. למשל שהשבט מתעורר כשהשמש זורחת והולך לישון כשהיא שוקעת.
יצרתם לעצמכם את השעון הראשון, והמצאתם את מושג ציר הזמן.
מעתה אתם יכולים לתת לכל אירוע "כתובת" בזמן. למשל, את האירוע בו השבט יצא לצוד ממותה תוכלו למקם בציר הזמן כ: "שלושה מחזורי יום-לילה אחרי תחילת הספירה וכשהשמש הייתה באמצע השמים".
למעשה במהותו שעון אינו אלא תופעה מחזורית המאפשרת לנו לתאר התרחשות כלשהי בהווה, על ידי השלב בו היה המחזור כשהיא התרחשה. סיפרו את מספר המחזורים שהתרחשו מהרגע שהתחלתם לספור, ויש לכם תאריך.

נקפוץ קדימה כמה אלפי שנים לעידן הברזל. אתם מצחצחים חרב ותולים אותה על הקיר. במשך שנים רבות שום דבר ושום אדם לא נוגעים בחרב, אבל אתם מבחינים שהחרב "מזדקנת", כלומר מחלידה.
אינכם מודעים לתהליכים מיקרוסקופיים המתרחשים ללא הרף בין האטומים של הברזל לאטומים של המים והחמצן באוויר, ולכן מבחינתכם, בכל הזמן שעבר, החרב היתה במצב סטטי וללא כל אינטראקציה עם העולם.
אתם מסיקים שגם אם הדברים נשארים במקומם, ללא כל תנועה וללא כל השפעה חיצונית, הזמן עדיין זז, באופן בלתי תלוי בהם, ומשפיע עליהם.
יצרתם את תפישת זרימת הזמן.
אתם מניחים שהזמן הוא ישות בלתי תלויה בעולם התופעות, ושהוא ממשיך לנוע ללא קשר לתהליכים המתרחשים בעולם.

נקפוץ אלפיים שנה קדימה למאה ה-18. שעוני כיס הפכו למוצר נפוץ. הודות לכך לא רק שאתם יכולים למדוד זמן, אתם גם יכולים להשוות אותו בנקודות שונות במרחב. אתם מבחינים בכך שהשעה היא תמיד אותה השעה אצל כולם, ומסיקים שהזמן זורם בקצב אחיד עבור כולם.
יצרתם את תפישת אחידות זרימת הזמן.


כעת משניסינו להבין כיצד נוצרות אצלנו תפישות הזמן השונות, בואו ננסה לראות האם אנחנו מצליחים לתאר את עולם התופעות, מבלי הצורך להסתמך על התפישות הללו.

כדי לעשות זאת, בתור התחלה, אבקש מכם לנסות לדמיין עולם ללא זמן.
ב"ללא זמן" אין הכוונה ללא "תפישת הזמן", אלא ללא זמן כתופעה עצמאית.
עולם ללא זמן הוא עולם בו לעבר, לעתיד או לזרימת הזמן אין שום קיום כתופעה עצמאית. הם "אינם".

אני מניח שחלקכם ידמיינו עולם סטטי. תמונה קפואה שאין בה שינויים.

Frozen Time - By Sahil Gogna

כאן מגיע השלב המאתגר ביותר שדורש קפיצה מעבר לתפישות האינטואיטיביות.
האתגר הוא להצליח לדמיין עולם ללא זמן, אך שיש בו שינוי.

בואו ננסה לעשות זאת יחד:
לשם הפשטות נניח שהעולם שאנו מנסים לדמיין הוא מערכת קטנה ופשוטה המתוחמת במסגרת מרובעת ומכילה כדורים עגולים - כמו שולחן ביליארד.
כל מה שקיים, כל מה שיש, זו רק המערכת.

בתוך המערכת חסרת הזמן, הכדורים נעים ומתנגשים אחד בשני.
יתכן ותגידו "איך יכול להיות שהם זזים? אם הם זזים ממקום למקום סימן שהם זזים בזמן, לא?".
הטריק הוא להבין, שלמרות המחשבה הנפוצה, תנועה איננה מחייבת זמן.
נסו לחשוב על סרט וידאו בו אתם רואים כדור הנע מימין לשמאל. ברור לכם שמה שאתם מחשיבים כתנועה, הוא בעצם סדרה של תמונות סטטיות של כדור, הנמצא בנקודות שונות ביחס לרקע, ומוחלפות אחת אחרי השניה.

ניתן לראות תנועה כסדרה של מצבים סטטיים

את הדבר לו אנו קוראים לו תנועה ניתן להגדיר כסדרה של מצבים של המערכת, המשתנים מאחד לשני באמצעות חוקיות קבועה מראש.
למשל, במערכת שלנו קיים כלל בו בכל מצב חדש של המערכת המיקום של כדור מסוים ישתנה, לנקודה הבאה האפשרית במערכת. (כלל זה, למשל, מקביל לחוק הראשון של ניוטון, שלפיו כל גוף בתנועה ימשיך באותה התנועה כל עוד לא יופעל עליו כח)
כדי לעבור מנקודה אחת לנקודה אחרת, וליצור את האשליה של תנועה, אין כל צורך בקיומו של זמן.
מה שיוצר את אשליית התנועה זה הזכרון שלנו, שזוכר למשל שהכדור הנמצא בנקודה ב', היה לפני רגע בנקודה א'. אם לא היה לנו זכרון, לא היינו רואים תנועה*.

*רק לשם הדיוק, תנועה מאוד מהירה אנחנו יכולים לראות גם ללא זכרון. זה בגלל שהחושים שלנו תופשים את מה שקורה בהווה בקצב דגימה (frame rate) מוגדר. כדור שנע מהר מאוד יתפס בחושים שלנו כקו מרוח. כשאנחנו רואים תמונה של חפץ מרוח, אנו יכולים להסיק שקיימת פה תנועה גם אם איננו יודעים או זוכרים מה היה רגע לפני.

כל מה שקיים זה המצב הנוכחי של המערכת. ברגע שהמערכת עוברת למצב הבא, כל מה שקיים זה המצב אליו היא השתנתה. הכל קורה ב"הווה".

יתכן שחלקכם שמו לב שבעצם הצגתי מערכת בעלת מרחב בדיד (לא רציף). כלומר האורך והרוחב של המערכת מחולקים ליחידות מוגדרות. כמו פיקסלים במסך מחשב. הכדור יכול להיות במצב A או במצב B, אך הוא לא יכול להיות בין שני המצבים. אם אתם חושבים שהעולם שלנו איננו כזו, ושאת המרחב ניתן לחלק לאינסוף יחידות קטנות ככל שנרצה, אז אתם מוזמנים לקרוא את נספח א', מדוע המרחב הוא בדיד.

במרחב בדיד הכדור יכול להיות במיקום A או B אבל לא בינהם

אם הצלחתם ליישב בתפישתכם את הרעיון של מערכת שאין בה זמן, אך יש בה שינוי, מצוין.
אני מזמין אתכם להמשיך לשלב הבא בו אראה כיצד מערכת שכזו מקיימת את כל התכונות של הזמן המוכרות לנו.
אם עדיין יש לכם קושי, בלבלול, התנגדות, או אי הסכמה, אתם יכולים לנסות להמשיך הלאה (לפעמים זה עוזר) או שאתם יכולים לקרוא את נספח ב' בו אני ארכז את כל התשובות שלי לטענות נגד ולשאלות שהופנו אליי בנושא.

התובנה העיקרית שאני רוצה להעביר לכם הינה:
ניתן לראות את כל התופעות הפיסיקליות המתרחשות בעולם כתוצאה של מעברים ממצב אחד של המערכת (העולם), למצב אחר של המערכת.

המעברים ממצב אחד לאחר נקבעים על ידי חוקי המערכת הסיבתיים. חוק סיבתי הוא חוק המחולל שינוי במערכת. ניתן לומר על חוקי הפיסיקה (הסיבתיים), ככל שהם מתארים תופעות יותר ויותר יסודיות, הם מתקרבים יותר לתיאור חוקי המערכת הסיבתיים.
לדוגמא חוקי התנועה של ניוטון השולטים בתנועת האטומים מתארים תופעה יסודית יותר מחוקי התרמודינמיקה (העוסקת בזרימת חום), ומכאניקת הקוונטים (העוסקת בתופעות בקנה המידה הקטן ביותר) מתארת תופעה יסודית יותר מהחוקים השולטים בתנועת האטומים.

כעת, אני רוצה להדגים כיצד מערכת כזו יוצרת את כל תופעות הזמן השונות שהצגנו קודם (כאמור ללא צורך בקיומה של ישות נוספת הנקראת זמן).
לשם פשטות אני מוצא שיהיה נוח להסתכל על המערכת ועל המצבים האפשריים שלה כמטריצה דו מימדית. כלומר כאילו היא צויירה על מסך מחשב עשוי פיקסלים. כל פיקסל מייצג את הגודל הקטן ביותר שיכול להתקיים במערכת.

 המחשה של עצם כדורי בתנועה על גבי מערכת בעלת מרחב בדיד דמוי פיקסלים של מסך מחשב

נוכל לדמות לעצמנו את כדור הביליארד הנע לאיטו משמאל לימין כצבר של פיקסלים בצורת עיגול.
כדור הביליארד יכול באותה מידה לתאר חפץ או חלקיק במערכת.

כעת נדמיין שלושה מצבים שונים של המערכת המתחלפים לפי הסדר. מצב B, A ו-C.

נניח שהמערכת עברה ממצב A למצב B. אין שום הצדקה או צורך לטעון שמצב A עדיין קיים בצורה כלשהי מלבד בזכרון שלנו. כמו כן אין שום הצדקה או צורך לטעון שמצב C קיים בצורה כלשהי מלבד בדמיון שלנו.
כלומר, המערכת מקיימת את תפישת העבר והעתיד ללא צורך בקיומם של עבר ועתיד.

כעת בואו נבנה במערכת שעון.
לשם כך אגדיר את המילה "אינטראקציה" כפעולה של שינוי במערכת על ידי אחד או יותר החוקים הסיבתיים ששולטים במערכת.
למשל, יש במערכת חלקיק בגודל פיקסל יחיד הנמצא בנקודה A, ובמצב הבא של המערכת הוא עובר לנקודה B בשל השפעת החוקים של המערכת. לזה נקרא אינטראקציה. אם אותו חלקיק פוגע בחלקיק סמוך אליו C, וגורם לכך שבמצב הבא של המערכת חלקיק C יתחיל לנוע, גם זו תיקרא אינטראקציה. כל שינוי במערכת זו אינטראקציה של מצב המערכת הנוכחי עם החוקים השולטים בה.

כעת אמרנו ששעון ביסודו הוא תופעה מחזורית. שעון מדויק היא תופעה מחזורית שחוזרת על עצמה בסדירות.
בואו ניצור תופעה מחזורית הנוצרת על ידי שמונה מצבים של המערכת (ראו תמונה).
מחזור שלם יכול ליצג כל אמת זמן שנרצה: שניה, דקה, שעה, יום, חודש, שנה….
התופעה הזו מייצגת שעון מדוייק, כי היא תמיד מורכבת מאותה כמות אינטרקציות (8) ומאותו סוג של אינטראקציות.

שעון בדמות תופעה מחזורית בעלת שמונה שלבים (אינטראקציות) שונים של המערכת 

כעת באמצעות השעון אנחנו יכולים להצמיד "זמן" לכל מצב של המערכת המייצגת את כדור הביליארד.
למשל, אם התחלנו למדוד את הזמן במצב A, אז נוכל למשל לומר שמצב B קרה חצי מחזור אחרי תחילת הספירה, ושמצב C קרה מחזור ורבע אחרי תחילת הספירה. ניתן אפילו לדמיין שהיה קיים מצב טרום A, שהזמן שלו היה שני מחזורים לפני תחילת הספירה.

(שימו לב, כשאנו אומרים שאירוע קרה ב-2.2.2000 בשעה 12:00, אנו אומרים שהאירוע התרחש 2000 מחזורי שנה, מחזור חודש אחד, מחזור יום אחד ו-12 מחזורי שעות מאז מצב המערכת שהיה בזמן שישוע הנוצרי נולד)
שימו לב שבנינו מכשיר למדידת "זמן" ויצרנו ציר "זמן", ללא צורך ואפילו ללא הצדקה בקיומה של ישות זמן עצמאית.

כעת נדמיין על פני המערכת שלנו תופעה שקוראים לה "יצור חי". לשם הפשטות נדמיין יצור חד תאי. אנו אומרים שהיצור מזדקן עם הזמן עד שמת.

אך הסיבה שהוא מזקן איננה בגלל ש"הזמן זורם", אלא בגלל שהוא עצמו מורכב מרכיבים של המערכת הנמצאים כל הזמן באינטרקציה והם אלו הגורמים לו להשתנות.

אם נשים את היצור בהקפאה מוחלטת הוא יפסיק להזדקן. למעשה עצרנו עבורו את ה"זמן". מנענו משורה של אינטראקציות להתקיים, ולכן הוא נשאר ללא שינוי. אגב, גם ההיפך הוא הנכון. אם נחמם אותו הוא יזדקן מהר יותר. למעשה זוחלים הם יצורים שקצב חילוף החומרים שלהם תלוי באופן ישיר בטמפרטורה של הסביבה. מחקר אחד מצא שזוחלים מזדקנים מהר יותר בסביבות מחייה עם טמפרטורות גבוהות יותר.
הסברנו את תפישת זרימת הזמן כתוצאה של האינטראקציות המתרחשות בחלק מסוים במערכת.
הפחתה או הגדלה של כמות האינטראקציות תיצור תפישה של זרימה מהירה או איטית יותר של הזמן, וחוסר אחידות בזרימת הזמן בין חלקים שונים של המערכת.
(במאמר נפרד העוסק בהסבר תופעות מיוחדות של הזמן בפיסיקה המודרנית, אראה כיצד ניתן להסביר האטת זמן בתורת היחסות באופן דומה).

אז ראינו שאנחנו יכולים להסביר את כל התופעות שאנו מייחסים לזמן באמצעות שינויים סיבתיים המתחשים בעולם. אין צורך בקיומו של הזמן כישות עצמאית כגון כמימד נוסף, כדי להסביר אותו.

כמו כן אנו יכולים כעת לתת תשובות לעוד שתי שאלות הנוגעות לזמן:

1) אם הזמן הוא מימד, מדוע בשונה ממימדי המרחב אנחנו מחוייבים לנוע בו?
התשובה היא שהזמן, ככל הנראה, איננו מימד, ומה שאנו מכנים תנועת הזמן אלו שינויים במערכת הנוצרים בשל אינטראקציות. לו יכולנו לעצור את האינטראקציות היינו יכולים לעצור את התנועה בזמן.

2) מדוע הזמן נע מה"עבר" ל"עתיד" ולא להיפך.
הסיבה לכך היא הסיבתיות. אנחנו נעים מסיבה לתוצאה ולא להיפך.

נספחים

מאמר הרחבה על התאמת המודל המתואר במאמר זה לפיסיקה - קישור

נספח א - מדוע המרחב הוא בדיד

הנסיון מראה לנו שכל יחידת אורך ניתן לחלק ליחידות אורך קטנות ממנה. מכאן מגיעה המחשבה שניתן לחלק את המרחב ליחידות קטנות ככל שנרצה.
הפילוסוף היווני זנון הראה שיש בעיה עם צורת מחשבה זו על ידי פרדוקס אכילס והצב:

אכילס מבצע תחרות ריצה עם צב בה מוסכם כי לצב יהיה יתרון התחלתי של 10 מטרים על אכילס. ידוע כי אכילס מהיר פי עשרה מהצב, אך למעשה לאחר שאכילס יעבור את עשרת המטרים הראשונים שהפרידו בינו לבין הצב - הצב יתקדם במטר נוסף, ובזמן שאכילס ירוץ את המטר הנוסף הצב יתקדם בעשירית המטר וכן הלאה, וכך למעשה אכילס לעולם לא ידביק את הצב.

כדי למצוא פתרון לפרדוקס, בוא נציג אותו באמצעות פרדוקס אחר של זנון שמציג את הדברים באופן קצת יותר פשוט:

נניח שאדם רוצה ללכת מנקודה אחת לנקודה שניה. לפני שהוא יגיע לנקודה השניה עליו לעבור בנקודה הנמצאת באמצע הדרך. משם, לפני שיוכל להגיע לסוף הדרך עליו לעבור בנקודה שנמצאת בדיוק באמצע בין היכן שהוא נמצא לבין סוף הדרך, וכך זה ממשיך. למעשה לא משנה כמה מיקרו-צעדים יעשה, תמיד תמצא עוד נקודה שהוא עדיין צריך לעבור בה.
הוא יתקרב מאוד אל סוף הדרך אך לעולם לא יגיע לשם.
בגרף למטה נוכל לראות בציר האנכי את מספר ה"צעדים" או הנקודות שהאיש יעבור, ובציר האופקי את את החלק היחסי של הדרך שהוא עשה.

כל צעד מקרב את האיש לסוף הדרך, אך הוא לעולם לא מגיע לשם

כפי שניתן לראות הוא יתקרב ויתקרב לסוף המסלול אך לעולם לא יגיע אליו.
למעשה הפרדוקס טוען שהאיש כלל לא יוכל לצאת לדרך, כיוון שגם הצעד הראשון שהוא עושה מכיל אינסוף נקודות קטנות יותר שהוא צריך לעבור.

דרך אחת לפתור את הפרדוקס היא להניח שקיים במרחב גודל מינימלי שלא ניתן לחלק אותו יותר.
ברגע שגוף כלשהו ינוע למרחק של הגודל הזה, הוא ימצא עצמו מיד בסופו, מבלי שיהיה עליו לעבור דרך נקודות ביניים.
כלומר המעבר בין התחלת המסלול לסוף המסלול כבר לא מיוצגת על ידי מספר אינסופי של מיקרו-צעדים ההולכים וקטנים לאינסוף, אלא על ידי מספר גדול, אך סופי, של מיקרו-צעדים.

מועמד אפשרי לגודל זה נקרא בשם אורך פלאנק. אורך פלאנק הוא גודל שחישב הפיסיקאי מקס פלאנק מתוך הקבועים היסודיים של הפיסיקה. (מהירות האור, קבוע הגרוויטציה וקבוע פלאנק). חישובים מסוימים הראו שתצפיות על עצמים באורך שכזה אינן אפשריות. זה כיוון שכל תצפית, מחייבת כמות מסוימת של אנרגיה (למשל האנרגיה של קרן אור הממקודת באזור). לפי תורת היחסות הכללית ריכוז אנרגיה באזור כה קטן תיצור חור שחור. המשמעות של זה היא שהאור ייבלע, לא יוכל לברוח, והתצפית תהיה בלתי אפשרית.

גודלו של אורך פלאנק הוא 10−35×1.62 מטר. 
רק לשם המחשה, הקוטר של אטום המימן, שהוא האטום הקטן ביותר שיש, הוא באורך של 1024×6.81 אורכי פלאנק. כלומר הוא באורך של יותר ממיליון × מיליארד × מילארד פעמים האורך הקטן ביותר של המרחב.

אגב, ישנה טענה שפרדוקס זנון נפתר על ידי חשבון אינפיניטסימלי, בטענה שחשבון איפיניטסימלי יודע להתמודד עם אינסוף מספרים הולכים וקטנים ולהפוך אותם למספר סופי, למשל על ידי אינטגרל. הטענה הזאת נובעת מאי הבנה של ההנחה הבסיסית של החשבון האיפיניטסימלי.

ההנחה הבסיסית בחשבון איפיניטסימלי היא שגודל הצעד הוא גודל סופי ולכן גם מספר הצעדים הוא תמיד סופי. הדיוק של החישוב גדל ככל שהצעד שואף לאפס ומספר הצעדים שואף לאינסוף.
המונח "שואף לאינסוף" מייצג מספר סופי. הוא איננו אינסוף, כי אם גודל הצעד היה 0 אז גם שטח האינטגרל היה 0. אכילס לא יכול לעבור מנקודה א לנקודה ב באינסוף צעדים שגודלם 0. הוא אפילו לא יכול לצאת לדרך.

כמובן שבמקום באמצעות אינטגרל אפשר לנסות לפתור זאת עם סדרה אינסופית בה הצעדים של אכילס הם לא אחידים, והם הולכים וקטנים, ומתכנסים לזמן סופי.
אבל גם זה לא יפתור את הפרדוקס כי הזמן מעולם לא היה הבעיה בפרדוקס.
השאלה האמיתית של הפרדוקס היא לא "תוך כמה זמן יסתיים תהליך המרדף של הרקולס אחרי הצב?", אלא "האם הוא יסתיים?".
מהו הסוף של התהליך עם אינסוף שלבים?
תשובה - אין כזה.
כלומר תהליך הצעדים של אכילס לכיוון הצב הוא תהליך שלא יסתיים.

נספח ב - שאלות, טענות ותשובות אודות האפשרות של קיום עולם ללא זמן

טענה: תפישת המערכת המשתנה ממצב למצב אינה שונה מתפישת הזמן כמימד. ניתן לראות כל שינוי של המערכת כתנועה הקטנה ביותר האפשרית על פני מימד הזמן.
תשובה: ראשית בתפישה של מימד (של המרחב) יש קיום לכל נקודה במימד, גם אם איננו נמצאים בנקודה זו. ראיה של זמן כמימד משליכה שיש קיום עצמאי לכל נקודה בזמן, גם אם איננו נמצאים בה. במערכת שמשתנה אין קיום עצמאי למצבים קודמים או עתידיים של המערכת. ישנה רק המערכת כפי שהיא.
שנית תפישת הזמן כמימד אינה מסבירה מדוע אנו נעים בזמן. מערכת המשתנה בהתאם לחוקים סיבתיים מסבירה מדוע יש תפישה של תנועה בזמן.
לבסוף, תפישת הזמן כמימד לא מסבירה מדוע קיימות תופעות של אי אחידות בזמן (כמו בתורת היחסות). היא אמנם מתארת ומחשבת תופעה זו אך לא מסבירה מדוע היא מתרחשת. המודל הנ"ל מסביר חוסר אחידות בזמן על ידי הגדלה או הפחתה של מיספר האינטראקציות בחלק מסוים של המערכת ביחס לחלק אחר. בתוך אמבה הנמצאת בהקפאה או מאיצה קרוב להמהירות האור יתרחשו פחות אינטראקציות מאשר באמבה הנמצת בטמפרטורת החדר או במנוחה. (הסבר על כך ניתן למצוא במאמר ההרחבה המקושר מעלה).

שאלה: כמה זמן עובר בין מצב אחד של המערכת למשנהו, ומה יקרה אם המצבים יתחלפו בקצב שונה?
תשובה: זוהי שאלה שגויה. הזמן הוא תוצאה של התפישה של השינויים הקורים במערכת. אם בכל מקרה נרצה לדמיין תופעה זמן מסדר גודל נוסף, שבתוכה שוכנת המערכת, זה לא ישנה העולם שלנו דבר.
גם אם לוקח "זמן" למעבר בין מצב אחד לשני של המערכת, וגם אם הזמן הזה יכול להיות שונה, העולם שלנו ימשיך להתנהג אותו הדבר ואנחנו נמשיך לתפוש את הדברים נעים אותו הדבר.

כדי להבין זאת ניתן להשוות את המערכת שלנו למשחק מחשב הרץ על מחשב ישן ומחשב חדש. המחשב החדש יריץ את המשחק מהר יותר מהמחשב הישן. אך אנו נתפוס את מהירות המשחק כשונה רק בגלל שאנחנו נמצאים מחוץ למשחק. מחוץ למערכת.
הדמויות בתוך המשחק יחוו את הזמן החולף במשחק באותה המהירות. המהירות היחסית שלהם לכל הדמויות האחרות במשחק תשאר אותו הדבר בין אם מריץ אותו מחשב חזק או מחשב חלש.

בואו נסתכל על כך גם מנקודת המבט של התודעה.
נניח אנחנו נמצאים בחדר בו הזמן מואט ביחס למי שנמצא מחוץ לחדר.
הדברים זזים לאט יותר, אבל גם התפישה שלנו הופכת איטית יותר באותה המידה.
לכן, באמצעות התפישה האיטית, הדברים נראים לנו כזזים בקצב הרגיל.
גם אם היה קיים זמן מסדר גודל נוסף בו שוכנת המערכת (היקום), כל שינוי בזמן זה ישפיע על כל היקום. כל היקום ימצא בתוך החדר שתואר קודם, ומבחינת היקום דבר לא ישתנה.

Photos credits:

Icons vector created by katemangostar - www.freepik.com

Food vector created by pch.vector - www.freepik.com

Background vector created by macrovector - www.freepik.com

Vintage vector created by macrovector - www.freepik.com

Texture vector created by starline - www.freepik.com