פרדוקסים של התייחסות עצמית

כמה מהפרדוקסים המבלבלים ביותר הם משפחה של פרדוקסים בעלי תכונה הנקראת: התייחסות עצמית. פרדוקסים הנוצרים מתיאורים המתארים את עצמם.

בין פרדוקסים אלו ניתן למצוא את פרדוקס השקרן, פרדוקס הסַפר, הפרדוקס של ראסל, פרדוקס גרלינג-נלסון, פתרון בעיית העצירה של אלן טיורינג ועוד.

נסתכל על פרדוקס השקרן הנוצר בשל הטענה הבאה: ״אני משקר עכשיו״.

אם טענה זו היא אמת, סימן שהיא שגויה. אבל אם היא שגויה, הרי שהיא אמת.

כיצד זה ייתכן?

כיצד טענה יכולה להיות אמת ולא אמת בו־זמנית?

פרדוקסים אלו מוגדרים באמצעות הגדרה מעגלית שנוצרת על ידי התייחסות עצמית בעלת אופי מאוד מסוים: שלילה עצמית. שלילה זו יוצרת סתירה פנימית מובנית שקשה להבחין בה במבט ראשון, כיוון שהיא מוסווית על ידי הגדרות שאינן נשמעות לנו סותרות. נוסף על כך, חלק מפרדוקסים אלו מסתירים מבנה לוגי בלתי שלם הנוצר בשל ההגדרה המעגלית.

הגדרה מעגלית

נחזור לפרדוקס השקרן. על מנת להבין כיצד הוא נוצר, ננסח אותו בצורה קצת אחרת אך שקולה מבחינת משמעותה, באמצעות הטענה הבאה: ״משפט זה הוא שקר״.

אם הוא שקר אז הטענה שהוא שקר אינה נכונה, כלומר הוא אמת… וחוזר חלילה.

ניתן לראות שפרדוקס זה מוגדר באופן מעגלי. הגדרה מעגלית היא הגדרה המגדירה את עצמה באמצעות עצמה. כמו למשל, בהגדרה: ״כלב הוא חיה בעלת ארבע רגליים שנובחת כמו כלב״. הגדרה זו לכלב כוללת בתוכה את המילה כלב. באותו אופן המשפט ״משפט זה הוא שקר״ מוגדר על ידי צמד המילים ״משפט זה״, שמייצגות את המשפט כולו.

כיוון שהמילים ״משפט זה״ מייצגות את המשפט כולו, על מנת להבין את משמעותו יש להחליף אותן במשפט עצמו.

כלומר המשפט: (משפט זה) הוא שקר,

יהפוך ל: (משפט זה הוא שקר) הוא שקר.

גם במשפט החדש מופיעות המילים ״משפט זה״ המתייחסות למשפט המקורי, ועל כן כדי להבין את משמעותו יש להחליף אותן במשפט המקורי ולקבל:

((משפט זה הוא שקר) הוא שקר) הוא שקר.

כפי שבוודאי הסקתם, ניתן להמשיך כך ללא סוף.

שלילה עצמית

ייתכן שהרגשתם שיש בעיה לוגית כלשהי במבנה המשפט של פרדוקס השקרן. שהוא לא שלם. ואכן בהמשך נראה שפרדוקס זה ופרדוקסים נוספים כמותו מכילים מבנים לוגיים בלתי שלמים. כרגע ברצוני להתמקד ברעיון אחר, והוא שהתייחסות עצמית לבדה אינה מספיקה בכדי שיווצר פרדוקס.

כזכור בפרדוקס השקרן כל מסקנה שהסקנו מהמשפט, שללה את עצמה.

אם אנו מסיקים שהמשפט ״משפט זה הוא שקר״ הוא אמיתי, אז הוא שקרי. אם הוא שקר, אז הרי שהוא איננו שקר ועל כן הוא אמת, וכך הלאה.

אבל גם המשפט ״משפט זה הוא אמת״ מוגדר בדיוק באותו אופן מעגלי. עם זאת הוא אינו מוביל לפרדוקס.

הסיבה לכך היא שכל מסקנה שאנו מסיקים ממנו, מאשרת את עצמה. אם המשפט נכון, אז הוא אמת (כפי שהוא טוען). ואם הוא אמת, הרי שהוא נכון. ואם הוא נכון, הרי שהוא אמת וכך הלאה.

כלומר נקבל שרשרת אינסופית של מסקנות שנשארות עקביות, ולכן אין פרדוקס, כי פרדוקס נוצר כשאנו מגיעים למסקנות סותרות.

על מנת שיתקיים פרדוקס לא מספיקה לנו התייחסות עצמית, אלא אנו זקוקים להתייחסות עצמית מסוג מאוד מסוים והיא: שלילה עצמית.

מה זה אומר ״שלילה עצמית״? זה אומר שיש לנו מסקנה אליה אנו מגיעים ברגע מסוים אך מתוך אותה מסקנה ניתן להסיק מסקנה נוספת ששוללת את המסקנה הקודמת.

למשל הביטוי ״משפט זה הוא שקר״ הוא טענה. במהותה, כל טענה מתיימרת להציג אמת – כלומר תיאור בעל מתאם למציאות. טענה כגון ״תפוחים הם סגולים״ שקולה במשמעותה לטענה ״האמת היא שתפוחים הם סגולים״. כמובן שלאחר מכן אנו יכולים לשפוט את הטענה ולקבוע שהיא שגויה ולשלול אותה.

אם הטענה עצמה שוללת את עצמה, כמו במקרה של פרדוקס השקרן, אז אנו מקבלים:

טענה (אמת) שהיא אינה אמת.

ניתן לראות שגם פרדוקסים מפורסמים אחרים של התייחסות עצמית מבוססים על שלילה עצמית:

סַפר שמספר את מי שלא מספר את עצמו.

קבוצה שכוללת קבוצות שלא כוללות את עצמן.

קטלוג שמציין קטלוגים שלא מציינים את עצמם.

אפילו הפתרון לבעיית העצירה נוצר על ידי יצירת מכונה שהופכת (ולכן שוללת) את המסקנות שהוסקו לגביה.

סתירה מובנית

בלוגיקה, טענה המכילה סתירה היא טענה שקרית בכל תנאי.

למשל: ״התפוח הוא ירוק וגם התפוח הוא לא ירוק״ – זוהי סתירה. לא קיים מצב בו התפוח הוא ירוק ולא ירוק בו זמנית.

דוגמה נוספת היא: ״אם (ורק אם) התפוח הוא ירוק אז התפוח אינו ירוק״.

טענה זו אינה יכולה להיות אמיתית בשום מצב, כי אם התפוח הוא ירוק, אנו מסיקים שהוא אינו ירוק, ואם הוא אינו ירוק אז אנו מסיקים שהוא ירוק.

קל לראות שטענות אלו בנויות משני חלקים המנוגדים אחד לשני, אז ברור לנו שטענות אלו יובילו לסתירה. כלומר, הסתירה מובנית בטענה.

עם זאת ניתן לבנות טענות הכוללות סתירה מובנית, שלא ניתן לראותה בקלות.

כדי להמחיש זאת נסתכל על פרדוקס הסַפר:

בעיירה אחת ישנו ספר שקבע לעצמו כלל: הוא מספר רק את תושבי העיירה שאינם מסתפרים בעצמם.

נשאלת השאלה, מי מספר את הספר?

אם הוא אינו מסתפר בעצמו, הרי שלפי הכלל שקבע, עליו לספר את עצמו; אבל אם הוא מספר את עצמו, הרי שלפי הכלל הוא אינו יכול לספר את עצמו.

למעשה הכלל שקבע הספר מכיל סתירה פנימית מובנית, המוסווית על ידי המורכבות של הכלל.

בואו נראה שוב את הכלל, וננסח אותו בצורה קצת אחרת שתקל את ההבנה:

״ספר שמספר כל תושב, אם, ורק אם, הוא לא מספר את עצמו״.

במקרה זה המילים ״כל תושב״, מסוות את הסתירה. המילים ״כל תושב״ מתייחסות לכל תושבי העירייה כולל הספר. כדי לראות את הסתירה בואו נתעלם מכל שאר תושבי העירייה מלבד הספר. באופן זה במקום המילים ״כל תושב״ נכתוב ״את עצמו״ ונקבל: ״ספר שמספר את עצמו, אם, ורק אם, הוא לא מספר את עצמו״.

כעת קל לראות שהכלל שקבע הספר כולל סתירה מובנית.

לכאורה, גם פרדוקס השקרן מבוסס על סתירה מובנית. כפי שציינתי קודם, כל טענה מתיימרת להציג אמת כלשהי. בביטוי ״משפט זה הוא שקר״, המילים ״משפט זה״ מייצגות טענה – כלומר אמת כלשהי. ניתן היה לכתוב את המשפט בצורה: ״אמת זו היא שקר״. באופן זה קל יותר לראות את הסתירה המובנית, כיוון ש״אמת שהיא שקר״ הוא רעיון שמכיל סתירה עצמית.

אך הסתירה הזו נוצרת רק אם אנו מניחים שמשפט זה אכן מהווה טענה שלמה ותקינה. אך הוא לא.

מבנה לוגי בלתי שלם

מבנה לוגי בלתי שלם הוא מבנה שלא מקיים את התנאים הנדרשים לקיומו.

נסתכל למשל על הטענה: תפוח זה הוא צהוב

טענות מסוג זה הינן טענות שניתן לכנותן ״טענות תיאוריות״ או ״טענות אריסטוטליות״.

התנאים לכך שטענה שכזו תהיה שלמה הם שיהיו לה לפחות שלושה רכיבים: נושא (תפוח זה), נשוא (צהוב), והיחס ביניהם (הוא).

טענה זו היא טענה שלמה מבחינה לוגית, ולכן ניתן לייחס לה ערכי אמת או שקר; כלומר לקבוע האם היא נכונה או שגויה.

משפט כגון ״בואו נצא לדרך״ איננו טענה, כי הוא אינו עומד בתנאים שהוגדרו קודם.

גם המשפט ״הוא צהוב״, אינו טענה, או לחלופין אפשר לומר שהוא טענה לא תקינה או בלתי שלמה לוגית – כי אין לו נושא. טענות הן תיאור של מציאות (להרחבה ראו את המאמר מהי אמת). אם חסר הנושא, חסר לנו חלק המציאות אותו אנו מתארים. לכן לא ניתן לשייך למשפט ״הוא צהוב״ ערכי אמת או שקר.

כנ״ל לגבי המשפט ״תפוח הוא״.

ניתן לכתוב את המשפטים הללו גם באמצעות נעלם. למשל ״X הוא צהוב״ ו-״תפוח הוא X״. משפטים אלו עדיין אינם טענות שלמות לוגית. למרות שנראה שיש לנו בהם את כל שלושת הרכיבים, אחד הרכיבים אינו מוגדר. לכן לא ניתן להגיד על המשפט ״X הוא צהוב״ אם הוא נכון או לא. אם נוכל להגדיר את הנעלם X, נוכל להשלים את הטענה.

כעת, כשאנו קוראים בקריאה ראשונה את הטענה ״משפט זה הוא שקר״ היא נשמעת לנו שלמה. אבל במבט מעמיק יותר אנו יכולים לראות שהנושא – המתואר על ידי צמד המילים ״משפט זה״ – הוא נעלם; איננו יודעים עדיין מהו ״משפט זה״.

לכן, בואו נייצג את המילים ״משפט זה״ כנעלם באמצעות הסמל X. כעת אנו יכולים לנסח את המשפט בצורה הבאה: ״X הוא שקר״.

נשים לב ש-X הוא נעלם מסוג מיוחד שנקרא ״מצביע״ (pointer). כלומר הוא אומר לנו איפה לחפש את הערך שעלינו להציב בו.

כיוון ש-X מצביע על המשפט השלם, כפי שראינו קודם, נוכל להציב במקום X את המשפט השלם ונקבל:

(X הוא שקר) הוא שקר.

אבל גם עכשיו המשפט איננו טענה שלמה לוגית כיוון שהנושא עדיין מוגדר על ידי נעלם, ולכן אינו מוגדר.

אנו יכולים להציב שוב פעם את X ונקבל ((X הוא שקר) הוא שקר) הוא שקר.

אנו יכולים להמשיך כך ללא סוף ולעולם לא נצליח להגדיר את הנושא של הטענה.

אנו רואים שפרדוקס השקרן הוא בעצם טענה לא שלמה לוגית. היא לא שלמה לוגית כיוון שהיא מוגדרת באופן מעגלי.

מדוע איננו רואים מיד שפרדוקס השקרן הוא טענה לא שלמה לוגית?

כנראה בשל שני גורמים: הראשון הוא שהמשפט תקין מבחינה תחבירית ולכן מרגיש לנו נכון. השני הוא שגם אם מובן לנו שהמשפט מכיל נעלם, אנו יודעים מה להציב בו ולכן מרגישים שהשלמנו את הטענה.

מבנים אינסופיים המגדירים את עצמם

ראינו בפרדוקס השקרן שמבנה שמוגדר באופן מעגלי, הגדרתו היא בלתי שלמה מבחינה לוגית. אך זה נכון רק למבנים סופיים. כשמדובר במבנים מופשטים אינסופיים אין את הבעיה הזו.

למשל ״קבוצה״ זה מושג לוגי/מתמטי שמתאר אוסף של עצמים (הנקראים איברים). למשל ניתן לחשוב על קבוצת כל היונקים, קבוצת כל המדינות, קבוצת המילים במילון שמתחילות באות א' וכדומה. איבר בקבוצה יכול להיות קבוצה בפני עצמה. למשל קבוצת קבוצות השפות המדוברות בכל מדינה. אחד האיברים בקבוצה זו יהיה קבוצת השפות המדוברות בהודו, ואיבר אחר יהיה קבוצת השפות המדוברות ברוסיה.

קבוצות יכולות להיות אינסופיות. למשל הן יכולות לכלול אינסוף איברים, כמו בדוגמת קבוצת כל המספרים הזוגיים.

מהי קבוצה שמוגדרת באמצעות עצמה? זוהי קבוצה שכוללת את עצמה כאיבר. כדי להבין איך זה עובד, בואו ניקח לדוגמה קבוצה שתקרא G, המורכבת מהמספרים 1 ,2, 3 ומעצמה.

נסמן זאת כך:

G = {1,2,3,G}

נפרט יותר לעומק את מבנה הקבוצה על ידי הצבתה בעצמה ונקבל:

G = {1,2,3,{1,2,3,G}}

נוכל להמשיך כך עד אינסוף ונקבל:

G = {1,2,3,{1,2,3,{1,2,3,{1,2,3,...}}}}

קיבלנו קבוצה בעלת מספר סופי של איברים (ארבעה), כאשר אחד האיברים הוא בעל תיאור אינסופי.

הפרדוקס של ראסל הוא דוגמה לפרדוקס המתבסס על קבוצות המגדירות את עצמן.

על פי הפרדוקס ניתן לחלק את כל הקבוצות בעולם לשתי קבוצות:

C – קבוצת הקבוצות הכוללות את עצמן כאיבר.

R – קבוצת הקבוצות שאינן כוללות את עצמן כאיבר

ניתן להראות שקבוצה C חייבת לכלול את עצמה כאיבר, אך זה מסתדר עם ההגדרה שלה.

עם זאת מתעוררת השאלה האם קבוצה R שייכת לקבוצות מסוג R או לקבוצות מסוג C?

אם קבוצה R אינה כוללת את עצמה כאיבר, אז לפי הגדרתה היא חייבת להיות איבר של עצמה. אם היא כוללת את עצמה כאיבר, אז לפי הגדרתה היא איננה יכולה להיות איבר של עצמה. קיבלנו פרדוקס.

גם פה אנו יכולים לראות שהפרדוקס הוא תוצאה של שלילה עצמית, שמובילה לסתירה מובנית.

אם נסתכל על ההגדרה של R, ונתעלם מכל הקבוצות האחרות מלבדה נקבל את ההגדרה הבאה: קבוצה R היא הקבוצה שמכילה את עצמה כאיבר, אם ורק אם היא אינה מכילה את עצמה כאיבר.

הצבעה עצמית

לבסוף ברצוני להראות סוג של מבנים סופיים, הכוללים התייחסות עצמית, אך הם עדיין שלמים לוגית.

מבנים אלו אינם מגדירים את עצמם באמצעות עצמם, אך מגדירים את עצמם באמצעות הצבעה על עצמם.

נראה זאת באמצעות פרדוקס הקטלוג.

בארץ כלשהי, כל ספרייה כוללת קטלוג המציין את שמות כל הספרים בספרייה. כיוון שהקטלוג עצמו הוא ספר שנמצא בספרייה, חלק ממחברי הקטלוגים בחרו לציין בקטלוג את שם הקטלוג עצמו. עותק של כל קטלוג נשלח לספרייה הראשית של אותה ארץ. בספרייה הראשית החליטו ליצור עוד שני קטלוגים:

א – קטלוג המציין את שמות כל הקטלוגים בספרייה שמציינים את עצמם

ב – קטלוג המציין את שמות כל הקטלוגים בספרייה שלא מציינים את עצמם

את קטלוג א' חיברו ללא בעיה. הוא כלל גם את שמו שלו.

את קטלוג ב' לא הצליחו לסיים, כיוון שאם הוא אינו מציין את שמו, הרי שהוא תואם את הגדרתו ועל כן יש להוסיף אליו את שמו. אבל על פי הגדרתו, אסור לשמו להופיע בו.

קטלוג המכיל את שמו אינו מבנה המגדיר את עצמו באמצעות עצמו. הוא רק מתייחס לעצמו באמצעות ״מצביע״; כלומר משהו שאומר לנו היכן ניתן למצוא משהו אחר.

מצביע היא מילה הלקוחה מעולם תוכנות המחשב. המצביע מכיל כתובת בזיכרון המחשב בו ניתן למצוא מידע מסוים. ראינו קודם שגם פרדוקס השקרן כולל ״מצביע״. אז מדוע פרדוקס השקרן יוצר מבנה אינסופי, ופרדוקס הקטלוג לא?

כדי לענות על השאלה אשתמש בדוגמה מעולם תוכנות המחשב. ניתן לכתוב פונקציה, שזוהי תוכנית קטנה המבצעת פעולה מסוימת, שכל מה שהיא תעשה הוא שהיא תיתן לנו את הכתובת במחשב בו היא עצמה רשומה (כלומר את המצביע שלה). תוכנית שכזו תרוץ פעם אחת ובסוף תעצור. לעומת זאת, אם נבנה פונקציה שמוצאת את הכתובת בו היא עצמה רשומה, וקוראת לפונקציה שנמצאת בכתובת זו (כלומר מריצה אותה). פונקציה זו תריץ את עצמה שוב ושוב עד אינסוף, אם לא הוגדר לה מתי לעצור. פונקציה שכזו נקראת פונקציה רֵקוּרְסִיבִית.

המשפט ״משפט זה הוא שקר״, הוא מבנה בעל גודל סופי של ארבע מילים. אך אם ברצוננו להבין את המשמעות שלו, עלינו לשלוף את המידע עליו מצביע המצביע ״משפט זה״. שליפת המידע מקבילה לקריאה לפונקציה. אך מכיוון שהמידע – שהוא המשפט ״משפט זה הוא שקר״ – מכיל את אותו המצביע, אנו מקבלים פעולה רקורסיבית אינסופית.

בפרדוקס הקטלוג איננו צריכים להשתמש במידע עליו מצביע המצביע. אם לעומת זאת היינו צריכים ליצור קטלוג שמציין, עבור כל קטלוג המופיע בו גם את רשימת הקטלוגים שהוא מכיל, לא היינו יכולים ליצור אפילו את קטלוג א'. כי קטלוג א' ייציין את עצמו, ותחת עצמו הוא יציין שוב את עצמו וכך עד אינסוף.